Найти все точки плоскости 2x + 3y - z + 6 =0, равноудаленные от координатных плоскостей.
Координатные плоскости, проходящие через пары координатных осей, разбивают пространство на 8 октантов.
Точки, равноудаленные от координатных плоскостей, лежат на прямых, проходящих через начало координат и направляющий вектор которых имеет равные величины модулей координат по осям.
Таких прямых всего 4, проходящих по диагонали через 2 октанта.
Примем единичные знамения модуля координат по осям.
1) Для I и VII октантов – (1; 1; 1),
2) для III и V октантов – (1; 1; -1),
3) для IV и VI октантов – (1; -1; 1),
4) для II и VIII октантов – (1; -1; -1).
Составим параметрические уравнения такой прямой:
1) (x/1) = (y/1) = (z/1) = t.
Отсюда имеем x = y = z = t.
Подставим в уравнение плоскости.
2t + 3t - t + 6 =0, 4t = -6, t = -6/4 = -3/2.
Получаем первую точку А((-3/2); (-3/2); (-3/2)).
2) 1) (x/1) = (y/1) = (z/(-1)) = t.
Отсюда имеем x = y = t, z = -t
Подставим в уравнение плоскости.
2t + 3t – (-t) + 6 =0, 6t = -6, t = -6/6 = -1.
Получаем вторую точку В(-1; -1; 1).
3) 1) (x/1) = (y/(-1)) = (z/1) = t.
Отсюда имеем x = z = t. y = -t.
Подставим в уравнение плоскости.
2t + 3(-t) - t + 6 =0, -2t = -6, t = -6/(-2) = 3.
Получаем третью точку С(3; (-3); 3).
4) 1) (x/1) = (y/1) = (z/1) = t.
Отсюда имеем x = t. y = z = -t.
Подставим в уравнение плоскости.
2t + 3(-t) – (-t) + 6 =0, 0t = -6, t = 0.
Эта прямая не пересекает плоскость – она параллельна ей.
Для этого варианта прилагается рисунок для наглядности.
