ответ: √(46/41)
Объяснение:
1. Поиск искомого отрезка
1) BM ⊂ (BSD)
AC ∩ (BSD) = O
Проведём в ΔBMD из точки O перпендикуляр к BM
OH ⊥ BM
2) SO - высота пирамиды. Высота попадёт в точку O, так как пирамида правильная. SO ⊥ (BCD)
Проведём HN, HN || SO ⇒ HN ⊥ (BCD) ⇒ NO - проекция OH на (BCD)
3) HO - наклонная, NO - проекция, AC ⊂ (BCD) ⇒ HO ⊥ AC (по теореме о трёх перпендикулярах)
Таким образом, HO - общий перпендикуляр к прямым AC и BM ⇒ расстояние между AC и BM равно HO
2. Нахождение длины отрезка
HO ⊂ (BSD). Найдём HO из ΔBSD.
1) MD = SD/2 = 5/2
Из ΔABD по теореме Пифагора BD = 2√2, OD = BD/2 = √2 (св-во диаг. квадрата).
Тогда из ΔSOD cos∠SDO = OD/SD = √2/5
2) По теореме косинусов в ΔBMD имеем:
BM² = BD² + MD² - 2BD * MD * cos∠SDO
BM² = 8 + 25/4 - 10√2 * √2/5
BM² = 8 + 25/4 - 4
BM² = 41/4
BM = √41/2
3) sin∠SDO = √(1 - cos²∠SDO) = √(1 - 2/25) = √23/5
SΔBMD = 1/2 * MD * BD * sin∠SDO = 1/2 * 5/2 * 2√2 * √23/5 = √46/2
SΔBMD = 1/2 * BM * KD ⇒ KD = 2*SΔBMD : BM = 2*√46/2 : √41/2 = 2√46/√41
4) В ΔBKD OH || KD, BO = OD ⇒ HO - средняя линия ΔBKD ⇒ HO = KD/2 = √46/√41
