На клетчатой бумаге с размером клетки 6×6 изображена фигура. Найдите её площадь.

огэ2зад19.png

ответ

120°

Объяснение:

Решение

 Пусть  ∠ABD = ∠ADB = α, ∠BAC = ∠ACB = β.  По теореме о внешнем угле треугольника  ∠BMC = α + β.

 Через точку A проведём прямую, параллельную стороне CD. Пусть эта прямая пересекается с прямой DB в точке K. Треугольник AMK равнобедренный, так как он подобен равнобедренному треугольнику CMD. Значит,  ∠DK = DM + MK = CM + MA = CA,  то есть трапеция AKCD – равнобедренная. Поэтому  CK = AD = BC,  то есть треугольник BCK также равнобедренный (по условию точка K не совпадает с точкой B). Кроме того,

∠KCM = ∠ADM = α.  Рассмотрим два случая.

 1) Точка K лежит на диагонали DB. Тогда ∠KBC = ∠BKC = ∠KMC + ∠KCM = 2α + β.  Отсюда

180° = ∠BMC + ∠MBC + ∠MCB = (α + β) + (2α + β) + β = 3α + 3β.

 2) Точка лежит на продолжении DB за точку B. Тогда  ∠BKC = ∠KBC = ∠BMC + ∠BCM = α + 2β.  Отсюда

180° = ∠KMC + ∠MK + ∠KCM = (α + β) + (α + 2β) + α = 3α + 3β.

 Итак, в любом случае  α + β = 60°.  Следовательно,  ∠CMD = 180° – ∠KMC = 180° – (α + β) = 120°.

Пусть дан треугольник ABC (рисунок прилагается). Проведем серединные перпендикуляры к AC и BC. Они пересекутся в точке O (они не могут быть параллельными, так как иначе AC и BC были бы параллельными, либо совпадали).
Теперь опустим из O высоту OM на AB и докажем, что она является и медианой.
Для треугольника BOC:
OK - медиана и высота, значит BO = OC (треугольник BOC равнобедренный).
Для треугольника AOC:
OL - медиана и высота, значит AO = OC (треугольник AOC равнобедренный)
Отсюда AO=BO. Значит OM - высота равнобедренного треугольника. Отсюда OM - медиана.