Построить прямоугольный треугольник по гипотенузе и острому углу с рисунком и описанием ​

2) Треугольники АОВ и АО₁В - равнобедренные, так как в каждом две стороны равны как радиусы одной и той же окружности. 
1) Если провести к АВ высоту ОМ из О, то ОМ будет для  равнобедренного треугольника АОВ и медианой и биссектрисой.. 
Высота из О₁ в равнобедренном треугольнике АО₁В, проведенная к тому же отрезку АВ, тоже - медиана и биссектриса.  Так как М - середина одного и того же отрезка и углы при ней прямые, то М лежит на ОО₁  
Отсюда 
Угол АОМ=углу ВОМ, 
угол АО₁М=углу ВО₁М. 
ОО₁- общая сторона этих треугольников. 
По второму признаку равенства треугольников  треугольники равны, если у них равны два угла и сторона между ними. ⇒  Δ АО₁В=Δ АОВ ч.т.д.

Дано: MNPK - четырехугольник,

          MN║PK, NP║MK,

          NA - биссектриса ∠N,

          KB - биссектриса ∠К.

Доказать: NA║КB или NA и КВ совпадают.

Доказательство:

Так как в четырехугольнике противолежащие стороны параллельны, то это параллелограмм (по определению).

В параллелограмме противолежащие углы равны

∠N = ∠K, значит равны  и их половины:

∠MNA = ∠BNA = ∠РКВ = ∠∠АКВ.

∠РВК = ∠АКВ как накрест лежащие при пересечении параллельных прямых NP и МК секущей КВ, значит

∠РВК = ∠BNA, а эти углы - соответственные при пересечении прямых КВ и NA секущей PN, значит KB║NA.

КВ и NA могут совпадать, если диагональ параллелограмма является биссектрисой углов N и К, т.е. если MNPK ромб.