Выберите условия, при которых треугольник ABO равен треугольнику
CDO, если угол BOA равен углу DOC:
A) АВ=DC,
Б) BO=OD
B) BO=0C,
Г) AO=OD
Д

Если я не ошибаюсь, то доказательство не сложное.

По второму признаку равенства прямоугольных треугольников: острый угол(А) и прилежащий к нему катет(АС) одного треугольника соответственно равны острому углу(А) и прилежащему к нему катету(АВ) другого треугольника.

По рисунку, АС и АВ равны. А острый угол, прилежащий к обоим этим катетам, у обоих треугольников общий. Следовательно, у обоих треугольников он равен. И, доказав, что острый угол А и прилежащий к нему катет АС треугольника ACD соответственно равен острому углу А и прилежащему к нему катету АВ треугольника ABF, мы доказали равенство этих обоих треугольников.

Ч.т.д.

Пусть расстояния от середин сторон до точек x, y, z.
Тогда площади треугольников за пределами MKP в сумме дадут
(с/2 - x)*(b/2 + z)*sin(A)/2 + (c/2 + x)*(a/2 - y)*sin(B)/2 + (a/2 + y)*(b/a - z)*sin(C)/2;
Тут могут быть какие-то вопросы, что именно и как обозначено. На самом деле это совершенно не важно. Обозначьте как-то стороны a b c (само собой, напротив стороны a лежит угол A и так далее), и на стороне a точка лежит на y от середины, на стороне b - на расстоянии z от середины, на стороне c - на расстоянии x от середины. При этом x y z могут принимать и положительные, и отрицательные значения. Смысл задачи в том, чтобы доказать, что замена x y z => -x -y -z не изменяет знака приведенного выражения (само собой, тогда эта замена не влияет и на площадь MKP).
Если раскрыть скобки, получится вот что
(cb/4 - xz)*sin(A)/2 + (ca/4 - xy)*sin(B)/2 + (ab/2 - yz)*sin(C)/2 +
+ (x/4)*(a*sin(B) - b*sin(A)) + (y/4)*(b*sin(C) - c*sin(B)) +
+ (z/4)*(c*sin(A) - a*sin(C));
Первые три слагаемых очевидно не меняют знака при x y z => -x -y -z,
три других слагаемых равны 0 по теореме синусов, поскольку
a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C);
всё доказано.