Ab - диаметр окружности с центром в точке o. на отрезке ob как на диаметре построена окружность с центром в точке o1. хорда большей окружности bc пересекает меньшую окружность в точке e. через точки o1 и е проведена
прямая, которая пересекает большую окружность в точках k и f (k - e - f), ke = 2 см, ef = 8 см. найдите bc.

Легко видеть, что треугольники EFB и CKE подобны - углы CKF и CBF опираются на дугу С(А)F, то есть равны, углы KFB и KCB опираются на дугу КВ, то есть тоже равны..., а третья пара углов вообще - вертикальные углы :))).

Поэтому ЕВ/EF = KE/EC, ЕВ*ЕС = КЕ*EF;

Прямая СА и прямая EO параллельны, так как перпендикулярны ВС (углы опираются на диаметры). Но АО = ОВ, поэтому ЕС = ЕВ (ОЕ - средняя линяя в прямоугольном треугольнике АВС). 

EC^2 = KE*EF;

(ВС/2)^2 = 2*8;

BC = 8;