Дан ответ на первые 4 вопроса.
Остальные надо выложить в отдельном задании.
Заданы точки A(8, 1, 7), B(9, 7, 4), C(6, 16, 4), D(1, 7, 4). Найти:
1) Находим векторы AC и AD.
АC = C(6; 16; 4) - A(8; 1; 7) = (-2; 15; -3),
модуль АС = √((-2)² + 15² + (-3)²) = √(4 + 225 + 9) = √238.
Находим вектор АD.
АD = D(1; 7; 4) - A(8; 1; 7) = (-7; 6; -3).
модуль АD = √((-7)² + 6² + (-3)²) = √(49 + 36 + 9) = √94.
Скалярное произведение векторов AC и AD равно:
AC*AD = (-2)*(-7) + 15*6 + (-3)*(-3) = 14 + 90 + 9 = 113.
Для определения угла АВС находим векторы ВА и ВС.
ВА = А(8; 1; 7) - В(9; 7; 4) = (-1; -6; 3),
модуль ВА = √((-1)² + (-6)² + 3²) = √(1 + 36 + 9) = √46.
ВС = С(6; 16; 4) - В(9; 7; 4) = (-3; 9; 0),
модуль ВС = √((-3)² + 9² + 0²) = √(9 + 81 + 0) = √90 = 3√10.
По этим данным рассчитываем косинус угла В.
cos B = ((-1)*(-3) + (-6)*9 + 3*0)/( √46*3√10) = -51/(3√460) = -51/(6√115) =
= -0,7926.
Угол В = arccos (-0,7926) = 2,486 радиан или 142,432 градуса.
2) Вектор АВ = -ВА = (1; 6; -3),
Находим вектор СD.
CD = D(1; 7; 4) - C(6; 16; 4) = (-5; -9; 0).
Находим векторное произведение векторов АВ и CD по схеме Саррюса.
i j k| i j
1 6 -3| 1 6
-5 -9 0| -5 -9 = 0i + 15j – 9k - 0j – 27i + 30k = -27i + 15j + 21k.
Найден вектор: (-27; 15; 21).
3) Для того чтобы найти смешанное произведение (a¯, b¯, c¯) трех векторов, заданных своими координатами a¯=(ax;ay;az),b=(bx;by;bz) и c¯=(cx,cy,cz) необходимо вычислить следующий определитель, где по строкам записаны координаты заданных векторов, то есть
(a¯,b¯,c¯)=|ax ay az
bx by bz
cx cy cz|.
Находим смешанное произведение векторов АВ, АС и AD.
Они найдены и равны:
АB = (1; 6; -3),
АС = (-2; 15; -3),
АD = (-7; 6; -3).
Произведение равно:
1 6 -3| 1 6
-2 15 -3| -2 15
-7 6 1| -7 6 = 15 + 126 + 36 + 12 + 18 – 315 = -108.
Знак минус говорит о том, что тройка векторов – левая.
Объём пирамиды равен (1/6) модуля смешанного произведения векторов AB, AC, AD.
V = (1/6)|-108| = 108/6 = 18 куб. ед.
4) Найти проекцию точки А на прямую ВD.
Находим вектор ВD.
ВD = D(1; 7; 4) - В(9; 7; 4) = (-8; 0; 0).
Составляем уравнение прямой BD.
(x – 9)/(-8) = (y – 7)/0 = ((z – 4)/0.
Найти проекцию точки A(8, 1, 7) на прямую CD:
CD: x − 9 = y − 7 = z − 7 (1)
−8 0 0
Решение.
Чтобы найти проекцию точки A на прямую CD нужно:
• найти плоскость α, проходящей через точку A, перпендикулярной прямой CD,
• найти точку A1, которая является пересечением плоскости α с прямой CD.
Точка A1 будет проекцией точки A на прямую CD.
Уравнение плоскости α, проходящей через точку A(x0, y0, z0) и имеющий нормальный вектор n={A, B, C} представляется формулой:
A·(x − x0) + B· (y − y0) + C·(z − z0) =0 (2)
Направляющий вектор прямой L0 имеет следующие координаты:
q0={m0, p0, l0}={−8, 0, 0} (3)
Для того, чтобы плоскость (2) была перпендикулярна прямой (1), нормальный вектор n={A, B, C} плоскости (2) должен быть коллинеарным направляющему вектору (3) прямой (1). Поэтому в качестве нормального вектора плоскости (2) можно взять вектор {m0, p0, l0}={−8, 0, 0}. Подставим координаты вектора q0 и координаты точки A в (2):
−8(x − 8) + 0(y − 1) + 0(z − 7) = 0.
После упрощения получим уравнение плоскости, проходящей через точку A и перпендикулярной прямой CD:
−8 x + 64 =0. (4)
Для нахождения точки пересечения прямой (1) и плоскости (4) проще всего пользоваться параметрическим уравнением прямой (1).
Составим параметрическое уравнение прямой:
t = x − 9
−8 ,
t = y − 7
0 ,
t = z − 4
0
Выразим переменные x, y, z через параметр t :
x = 9 − 8t,
y = 7 + 0t,
z = 4 + 0t. (5)
Подставим значения x, y, z из выражения (5) в (4) и решим относительно t.
−8(−8t + 9) + 64 = 0
64 t − 72 + 64 = 0
t = 1/8.
Подставляя значение t в выражения (5), получим координаты точки A1:
A1(8,7,4).
ответ: проекцией точки A на прямую CD является точка A1(8,7,4).
Объяснение:1. Две прямые называются параллельными, если они
г) не пересекаются на плоскости
2. Две прямые параллельны, если при пересечении их секущей
г) внутренние накрест лежащие углы равны
3.Две прямые параллельны, если при пересечении их секущей
в) сумма внутренних односторонних углов равна 180 градусов;
4.Две прямые параллельны, если при пересечении их секущей
а) соответственные углы равны;
5)Сколько параллельных прямых можно провести через точку не лежащую на данной прямой
б) одну;
6)Две прямые пересечены секущей. Чему равна сумма внутренних односторонних углов, если внутренние накрест лежащие углы равны?
а) 180°
7) Две прямые пересечены секущей. Внутренние односторонние углы в сумме составляют 180 градусов, а один из соответственных углов равен 36 градусов. Чему равен второй из соответственных углов?
г)36°
8). Сумма внутренних накрест лежащих углов при параллельных прямых и секущей равна 220^0. Чему равны эти углы?
в)110°
9). Один из внутренних односторонних углов при параллельных прямых и секущей равен 50 градусов. Найдите второй внутренний односторонний угол. Отв: 180°-50°=130°; Отв: 130°
