Дано: О-точка перетину діагоналей паралелограма АВСD, АВ=10см, АС=14см, ВD=12см. Знайдіть периметр трикутника СО

Решить треугольник - найти его характеристики по заданным условиям. Нам надо найти угол BAC, стороны AC и AB.
Найдём угол BAC:
BAC = 180° - (30° + 105°) = 180° - 135° = 45°
По теореме синусов найдём сторону AC:
(BC)/(sinBAC) = (AC)/(sinABC);
(3√2)/(√2/2) = (AC)/(1/2);
AC = (3√2 * 1/2)/(√2/2) = 3√2 * 1/2 * 2/√2 = (3√2)/(√2) = 3 см
По той же теореме синусов найдём сторону AB:
(AC)/(sinABC) = (AB)/(sinBCA);
sin105° = sin(50+50+5) = 0.766 + 0.766 + 0.0871 = 1.6191
(3)/(1/2) = (AB)/(1.6191);
AB = (3 * 1.6191)/(1/2) = 3 * 1.6191 * 2 = 9.7146 ≈ 10 см
ответ: угол BAC = 45°; AC = 3 см; AB = 10 см

Так как в условии не указано, пересекаются ли биссектрисы, у задачи два варианта решения и, соответственно, есть два варианта ответов.

Вариант 1)

Биссектрисы не пересекаются. По условию ВF=FE=EC 

Угол ВFA=углу FАD - накрестлежащие. 

Угол FАD=FАВ по условию. ⇒

Углы при основании АF треугольника АВF равны, 

∆ АВF равнобедренный, АВ=ВF. Аналогично доказывается СD=CE. 

Примем 1/3 ВС=а

Тогда АВ=CD=a, BC=AD=3a

ВС=24 см ⇒

3a=24 см

a=8 см ⇒ 

AB=CD=8см

BC=AD=24 см

Р=2•(8+24)=64 см

Вариант 2)
Биссектрисы пересекаются.  По условию ВF=FE=EC

Как в первом варианте, ∆ АВЕ и ∆ СDF равнобедренные, 

 АВ=ВЕ и CD=CF

Пусть 1/3 ВС=а

Тогда АВ=СD=2a, BC=AD=3a

P=AB+BC+CD+DA=10a

ВС=3а=24 см

а=8 см⇒

Р=10а=80 см