Суммативное оценивание за раздел «Прямоугольная система
координат на плоскости»
Вариант 2
1. [ ] Точка С - середина отрезка АВ. Найдите координаты точки В, если
C( -2; 3) и A(-6; -5)

2. а) [ ] АВ - диаметр окружности с центром О. Найдите координаты центра
окружности, если A(8; -3) и В (-2; -5)
b) [ ] Запишите уравнение окружности, используя условая пункта а)

3. [Збалла] Выполните построение, выясните взаимное расположение двух
окружностей, заданных уравнений (x + 3)2 + (y - 4)2 = 9 и (x - 2)2 + (y - 4)2 = 4

4. [ ] Точки A( -3: 5) B(3;5) C(6; -1) D (-3; -1) - вершины прямоугольной
трапеции с основаниями АВ и CD Найдите длину средней линии и площадь
трапеции.
​

Диагонали ромба АВСД в точке пересечения О  делятся пополам и перпендикулярны друг другу. Рассмотрим треугольник АОВ, угол АОВ=90.Из точки О опущен пнрпендикуляр ОМ на сторону ромба. По свойству перпендикуляра, опущенного из вершины прямого угла, его квадрат равен произведению отрезков, на которые основание этого перпендикуляра делит гипотенузу, ОМ^2=AM*MB=3*12=36, OM=6.Из прямоугольного треугольника АМО имеем АО^2=AM^2+OM^2=9+36=45.Но АО- это половина диагонали АС, поэтому АС=2*АО=2* √45=6*√5. Аналогично, из треугольника ВОМ имеем  ВО^2=OM^2+MB^2=36+144=180, BO=√180=6√5,  BД=2*ВО=12*√5. 

Обозначим ромб АВСД. Проведём диагонали АС и ВД. Точка их пересечения О. Рассмотрим треугольник АВО. Проведём в нём высоту ОК на АВ. Тогда по условию ВК=3, АК=12. В прямоугольном треугольнике высота проведённая на гипотенузу делит его на подобные треугольники. Отсюда ВК/ОК=ОК/АК. Или 3/ОК=ОК/12. ОТсюда ОК=6. По теореме  Пифагора ВО=корень из(ВК квадрат+ОК квадрат) = корень из(9+36)=3 корня из 5. Отсюда диагональ ВД=2 ВО=6 корней из 5.  Из подобия треугольников ВОК и АОК получим АО/АК=ВО/ОК. Или АО/12=(3 корня из 5)/6. Отсюда АО=6 корней из 5. Тогда диагональ АС=2АО=12 корней из 5.