2.Дана окружность с центром в точке О, диаметром АВ.
а)Найдите координаты центра окружности, если А(9;-3); В(-3;5).

Пусть для определенности A находится между B и D. Поскольку угол между касательной DC и хордой AC опирается на ту же дугу, что и вписанный угол ABC, делаем вывод о равенстве этих углов. А так как угол D в треугольниках DAC и DCB общий, делаем вывод о подобии этих треугольников по двум углам. Обозначив DA через x, получаем равенство x:d=b:a, значит, отрезок длиной x можно построить с циркуля и линейки (поскольку мы решаем сложную задачу, умение делать стандартные построения с циркуля и линейки предполагается).
Теперь все просто: в ΔDAC нам известны все стороны, так что его можно построить. Продолжая DA за точку A, ищем пересечение окружности с центром в точке C и радиусом a с указанным продолжением - это будет точка B.

Sокр = πr² = π· а²Sin²α/(4·(1+Sin(α/2))²).

Объяснение:

Треугольник АВС - равнобедренный =>

ВН - высота, биссектриса и медиана.  =>

AH = a·Sin(α/2)  => AC = 2·a·Sin(α/2).

Формула радиуса вписанной в треугольник окружности:  

r = S/p.

Формула площади данного нам треугольника:  

S = (1/2)·a²·Sinα.

Полупериметр треугольника АВС:

p = (2a+2·a·Sin(α/2))/2 = а(1+Sin(α/2)).

r =  ((1/2)·a²·Sinα)/(а(1+Sin(α/2))) = a·Sinα/(2·(1+Sin(α/2))).

r² = а²Sin²α/(2·(1+Sin(α/2)))².

Sокр = πr² = π· а²Sin²α/(4·(1+Sin(α/2))²).