Побудуйте ΔАВС, у якому АВ = 3 см, АС = 4 см, кут А = 50 градусів . Запишіть алгоритм побудови.

Вариант решени. 
Пусть дан треугольник АВС.
Угол С=90°
СН - высота=24
R=25
Радиус окружности,  описанной вокруг прямоугольного треугольника, равен половине гипотенузы. 

АВ=2R=2*25=50

Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между отрезками, на которые делится гипотенуза этой высотой:

СН²=АН*ВН
ВН=АВ-АН
Примем АН равной х, тогда ВН=50-х
24²=х*(50-х)
576=50х-х² 
х²-50х+576=0
Дискриминант равен:
D=b² -4ac=-50² -4·576=196
х₁=(50+√196):2=32
х₂=(50-√196):2=18
Оба корня равны частям АВ.
АН=32
ВН=18

Катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное между гипотенузой и отрезком гипотенузы, заключенным между катетом и высотой. 

Найдем АС:
 АС²=АВ*АН
АС²=50*32=1600
АС=√1600=40
ВС²=АВ*ВН
ВС²=50*18=900
ВС=30
Р=30+40+50=120

66 см²

Объяснение:

Медианы треугольника пересекаются в одной точке, и  точкой пересечения делятся в отношении 2:1,  считая от вершины.

⇒  ВМ:МК=2:1.

У ΔАМК и ΔАВМ одна и та же высота АН - перпендикуляр, проведенный из вершины А к прямой  ВК, содержащей стороны ВМ и МК этих треугольников.

Если два треугольника имеют одинаковые высоты, то отношение их площадей равно отношению длин оснований (сторон, на которые опущены эти высоты)   ⇒

Samk/Sabm=1/2   ⇒

11/Sabm=1/2 =>

22=Sabm.

Sabk=22см²+11см²=33см²

медиана ВК делит ΔАВС на два равновеликих т.е Sabk = Skbc.

⇒

Sabc=33*2=66см²