У рівнобедрений трикутник вписано коло, що ділить бічну сторону у відношенні 2:3
починаючи від вершини яка протележна основі.Знайдіть перимитр трикутника, якщо його основа дорівнює 12см

Если провести через точку A прямую параллельно BC, то она пересечет BD в точке K таким образом, что AK = AB. Это потому, что
∠AKB = ∠DBC; это - внутренние накрест лежащие углы; а
∠DBC = ∠ABD; так как BD - биссектриса
получилось, что треугольник AKB - равнобедренный.
Теперь понятно, что для того, чтобы прямая AD пересекла BС в точке C за точкой D, то есть чтобы существовал треугольник ABC, нужно, чтобы точка D лежала ближе к B, чем K.
Отсюда ∠ADB > ∠AKB = ∠ABD; и AB > AD; так как напротив большего угла в треугольнике лежит большая сторона.

Площадь треугольника можно вычислить разными

По ф.Герона:
S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)], где р - полупериметр треугольника, a, b и с - его стороны. 
 р-(37+37+24):2=49
S=√[49•12•12•25]=7•12•5=420 (ед. площади)

Опустим высоту на основание. Высота равнобедренного треугольника, проведенная между равными сторонами, делит его на два равных прямоугольных, в которых боковые стороны треугольника - гипотенузы, высота и половина основания - катеты. . 
Тогда по т.Пифагора
h=√(37²-(24/2)²)=35
S=h•a/2=35•24/2=420 (ед. площади).