В треугольнике АВС отметили точку М так, что площади треугольников АМС, ВМС и АМВ равны. Докажите, что М – точка пересечения медиан треугольника АВС.​

Достроим правильный шестиугольник до треугольника. Сторона полученного треугольника в три раза больше стороны правильного шестиугольника*, 12√3. Вписанная окружность касается сторон правильного треугольника в их серединах. Стороны вписанного в эту окружность правильного треугольника равны средним линиям треугольника со стороной 12√3, то есть 6√3.

-----------------------------------------------
*) Сумма углов многоугольника 180(n-2), для шестиугольника 720, углы правильного шестиугольника равны 720/6=120. Углы при основании треугольников, образованных продолжениями сторон правильного шестиугольника, равны 180-120=60, треугольники равносторонние.

1. Задание

1.Отрезки делятся пополам, значит КР=РМ

РN=LP

<KPN=<LPN, так как прямые перпендикулярны и оба угла равны 90°.

2.В этих треугольниках соответствующие <К и <М; <N и <L; <K=30°; <N=60°.

2. Задание треугольники.

1 Если АВ=DE,BC=EF; B=E первый признак. (Две стороны и угол между ними одного треугольника равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то эти треугольники равны)

2 АВ=DE; BC=EF; (вот это надо выбрать СA=FD) ( три стороны одного треугольника равны трем сторонам другого треугольника, то эти треугольники равны)

3 АС=DF; <A=<D; <С=<F (два угла и сторона между этими углами одного треугольника равны двум углам и стороне между этими углами другого треугольника, то эти треугольники равны)

4 AC=DF <A=<D; DE=AB (две стороны и угол между ними...)

5 <B=<E; <C=<F; BC=ЕF (два угла и сторона между этими углами)