Есть пирамида АВСД, где АВС - основание, О - центр вписанной окружности в основание, ДК - апофема.
Рассмотрим прямоугольный треугольник ДКО. В нем ДО - высота пирамиды, ДК - апофема, ОК - радиус, угол ОДК = 60. Значит угол ДКО=180-ОДК-ДОК=180-60-90=30. Значит ДО - катет, лежащий против угла в 30 градусов, значит ДК=2*ДО. Примем ДО за х. Тогда
ДО^2+OK^2=ДК^2. х^2+(5√3)^2=(2*х)^2. Отсюда х=ДО=5; ДК=2*5=10.
Рассмотрим треугольник АВС: r=ОК=√3*АВ/6. Отсюда АВ=6*r/√3=6*5* √3 / √3 =30.
Рассмотрим треугольник АВД: S(АВД)=ДК*АВ/2=10*30/2=150
Площадь боковой поверхности = 3*S(АВД) = 3*150=450
Угол АВД равен 37 - опирается на ту же дугу, что и угол АСД.
Из треугольника АВД находим угол ВАС = 180-37-43-22 = 78.
Значит, угол А = 78+22 = 100 градусов.
Из треугольника АСД находим угол СДВ = 180-22-37-43 =78.
Значит, угол Д = 43+78 = 121 градус.
Угол ВСА равен углу ВДА, как опирающиеся на одну дугу АВ и равен 43 градуса.
Значит, угол С = 37+43 = 80 градусов.
Угол СВД равен углу САД, как опирающийся на одну и ту же дугу СД = 22 градуса.
Значит, угол В = 37+22 = 59 градусов
А+В+С+Д= 100+59+80+121 = 360 градусов.
