В треугольнике ABC (см. рисунок) BC = 14, sin A = , внешний угол при вершине C = 120°. Найдите AB.
Я знаю, что можно найти угол BCA = 180°-120° = 60°. Но как работать дальше? Распишите рассуждения пошагово мне главное понять, потому что в синусах-косинусах я до сих пор "плаваю").
Заранее большое

1. ∠АBС  ≈ 75° .

2. ∠АBС ≈ 15° .

Объяснение:

Треугольник АВН - прямоугольный (AH — высота равнобедренного треугольника ABC - дано). НК - высота из прямого угла. =>

Треугольники АВН, АКН и ВКН подобные. =>  ∠ ABC = ∠АНК.

Из прямоугольного треугольника АКН:

TgB = АК/АН => AK = KH·tgB.

Из прямоугольного треугольника BКН:

TgB = КH/BK => BK = KH/tgB.

AB = AK + BK = 4KH (дано) =>

KH·tgB + KH/tgB = 4·KH. =>

tgB + 1/tgB = 4.  => tg²B - 4tgB +1 = 0.

Решаем это квадратное уравнение и находим корни:

tgB = 2 ± √3.

tgB ≈ 3,73.  => ∠B ≈ 74,99°  ≈ 75° .

tgB ≈ 0,27.  => ∠B ≈ 15,1° ≈  15° .

 Касательная k, поскольку она параллельна основанию треугольника ВС,  
отрезала от него равнобедренную трапецию. 
В эту трапецию вписана окружность.
 Вспомним, что в трапецию можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы противоположных сторон трапеции равны. 
В получившейся трапеции ВТОС
ТО+ВС=ВТ+ОС 
Следовательно,
ТО+ВС=45:2=22,5 
Так как отношение ТО:ВС=1:4, частей 1+4=5
ТО=22,5:5=4,5 
 ВС=4,5*4=18 
Опустим из вершины Т высоту ТН 
В равнобедренной трапеции высота, опущенная из вершины тупого угла на большее основание, делит его на отрезки, меньший из которых равен полуразности оснований, больший - полусумме оснований. 
Отрезок ТН равен полуразности оснований.
 ТН=(18-4,5):2= 6,75 
ТВ+ОС=45:2=22,5 
ТВ=ОС=22,5:2=11,25 
Из  прямоугольного треугольника ВТН найдем высоту ТН по т. Пифагора. 
Она равна √81 ( можете проверить). 
ТН=9. 
Высота трапеции равна диаметру вписанной окружности. 
Радиус r этой окружности равен =9:2=4,5см