Знайдіть об'єм правильної чотирикутної піраміди,якщо діагональ квадрата,що лежить в основі даної піраміди,дорівнює її бічному ребру,довжина якого:6 см.

Если продолжить KL и MN то эти линии пересекутся на продолжении ребра B1C1 в точке, которую обозначим O. Рассмотрим положение этой точки в плоскости грани BCC1B1. Легко увидеть, что C1O равна половине длины ребра куба. Аналогичное наблюдение можно сделать и из анализа грани A1B1C1D1. Из симметрии следует что треугольник ONL - равнобедренный с основанием NL. Длина этого основания по теореме Пифагора равна корень(a*a+a*a)/2 = a/корень(2). Длины боковых сторон так-же a/корень(2). То есть треугольник равносторонний, а искомый угол при его вершине 60 градусов.

Поместим заданный прямоугольный параллелепипед  в прямоугольную систему координат вершиной В в начало, ребром АВ по оси ОХ, ВС по оси ОУ.
Определим координаты необходимых точек.
Координаты точки С   сx     сy    сz
                                   0      2      0,
Координаты точки А1 a1x   a1y  a1z
                                   3       0       4,
Координаты точки А   ax      ay    az
                                   3       0      0,
Координаты точки Д1 д1x   д1y   д1z
                                   3        2      4.
Определяем координаты векторов:
   Вектор СА1 (3; -2; 4),    Вектор АД1 (0; 2; 4).
Косинус угла равен:
= 0,49827288.
Угол равен arc cos 0,49827288 = 1,04919071 радиан = 60,1141998°.