Выполняет маршрут от Мессины до Стамбула

Треугольники SCD и SAB - прямоугольные и центр описанной около них  окружности лежит в центре их общей гипотенузы SB.
Следовательно, центр шара , описанного вокруг пирамиды SABC лежит в этой  же точке и радиус его равен половине ребра SB. Ребро SB найдем по  Пифагору: SB=√(L²+b²).
Значит OA=OC=OB=OS=Rш=(1/2)√(L²+b²), а его объем равен Vш=(4/3)*πR³ или
Vш=(4/3)*(1/8)π(L²+b²)√(L²+b²)=(1/6)*(L²+b²)√(L²+b²).  (ответ).
Найдем объем пирамиды.
Опустим перпендикуляр SH из точки S на плоскость АВС. Основание этого  перпендикуляра Н попадет на прямую НВ в плоскости АВС вне треугольника  АВС. (То есть грань ASC не перпендикулярна плоскости основания).  Чтобы найти точку Н, надо в плоскости АВС провести перпендикуляры к  сторонам АВ и СВ в точки А и С. Их пересечение и даст нам искомую точку Н, в которую  проецируется вершина S пирамиды, так как по теореме, обратной теореме о  трех перпендикулярах, "прямая, проведенная в плоскости через основание  наклонной перпендикулярно к ней, перпендикулярна и к её проекции". Значит  SH - искомая высота. В равнобедренном треугольнике АВС отрезок ВР - высота,  биссектриса и медиана этого треугольника.
Тогда в прямоугольном треугольнике ВАН угол <ABH=(β/2), а гипотенуза  НВ=b/Cos(β/2). В прямоугольном треугольнике SHB по Пифагору катет SH=√ (SB²-HB²) или
SH=√[(√(L²+b²))²-(b/Cos(β/2))²]=√[(L²+b²)-(b²/Cos²(β/2)]
Объем пирамиды Vп=(1/3)*So*H. Или
Vп=(1/3)*b²Sinβ/2*√[(L²+b²)-(b²/Cos²(β/2)]. Или
Vп=(1/6)*b²Sinβ*√[(L²+b²)-(b²/Cos²(β/2)].  (ответ).

Проверим решение на конкретных числах.
Пусть b=4, L=3, β=60.
Тогда SB=√(L²+b²)=5.
PB=√(16+4)=√12=2√3.
AH=4√3/3,  SH=√(9-48/9)=√33/3. (первый вариант).
HP=2√3/3,  SP=√(L²-CP²)=√5.
SH=√(SP²-HP²)=√(5-12/9)= √33/3 (второй вариант).
HB=HP+PB=8√3/3.
SH=√(SB²-HB²)=√(25-199/9)=√33/3. (третий вариант).
Из моего решения:
SH=√[(L²+b²)-(b²/Cos²(β/2)]=√[(9+16)-(16*4/3]=√(11/3)=√33/3.

Объяснение:

а) Если две хорды в окружности пересекаются, то произведение отрезков одной хорды, равно произведению отрезков другой.

То есть: АО*СО=ВО*DO

x*(x+10)=(x+2)(x+4)

x²+10x=x²+4x+2x+8

x²–x²+10x–4x–2x=8

4x=8

x=2

ответ: 2.

b) Если из одной точки к окружности проведены две секущие, то произведение одной секущей, на её внешнюю часть, равно произведению другой секущей на её внешнюю часть.

То есть: RG*RW=RL*RN

(RW+WG)*RW=(RN+NL)*RN

(4+8)*4=(3+x)*3

48=9+3x

3x=39

x=13

ответ: 13

с) Если из одной точки к окружности проведены две секущие, то произведение одной секущей, на её внешнюю часть, равно произведению другой секущей на её внешнюю часть.

То есть:

AD*AC=AM*AB

(AC+CD)*AC=(AB+BM)*AB

(x+x–2)*x=(4+x+1)*4

2*(x–1)*x=(5+x)*4

x²–x=10+2x

x²–x–2x–10=0

x²–3x–10=0

Д=(–3)²–4*1*(–10)=9+40=49

Так как длина задаётся положительным числом, что х=5.

ответ: 5

d) Если из одной точки к окружности проведена касательная и секущая, то квадрат отрезка касательной будет равен произведению отрезка секущей на её внешнюю часть.

То есть:

МК²=МН*МР

МК²=(МР+РН)*МР

6²=(2х+4)*4

36=8х+16

8х=20

х=2,5

ответ: 2,5

е) Если из одной точки к окружности проведена касательная и секущая, то квадрат отрезка касательной будет равен произведению отрезка секущей на её внешнюю часть.

То есть:

АМ²=АЕ*АО

АМ²=(АО+ОЕ)*АО

16²=(х+х+16)*х

256=(2х+16)*х

2х²+16х=256

х²+8х–128=0

Д=8²–4*1*(–128)=64+512=576

Так как длина не может быть отрицательной, то х=8.

ответ: 8.

f) Если из одной точки к окружности проведены две секущие, то произведение одной секущей, на её внешнюю часть, равно произведению другой секущей на её внешнюю часть.

То есть:

ON*OS=OA*OK

(OS+SN)*OS=(OK+KA)*OK

(x+5+x)*x=(5+5+x)*5

(2x+5)*x=(10+x)*5

2x²+5x=50+5x

2x²+5x–5x=50

x²=25

Совокупность:

х=√5

х=–√5

Так как длина – положительное число, то х=√5

ответ: √5