А1 Если точка лежит в плоскости YOZ, то x=0;
ответ: а) A(0; 1; 1).
A2 Координаты середины отрезка равны полусумме координат концов отрезка:
x(М) = (x(A) + x(В))/2; ⇒ x(B)=2· x(M) - x(A);
x(B) = 2 · (- 2) - 1 = - 5
y(B) = 2 · 4 - 3 = 5
z(B) = 2 · 5 - (- 2) = 12
ответ: a) B(- 5; 5; 12).
A3 B(6; 3; 6) C(- 2; 5; 2)
Если АМ медиана, то M - середина ВС.
x(M) = (6 - 2)/2 = 2; y(M) = (3 + 5)/2 = 4; z(M) = (6 + 2)/2 = 4
M(2; 4; 4); A(1; 2; 3)
AM² = (2 - 1)² + (4 - 2)² + (4 - 3)² = 1 + 4 + 1 = 6;
AM = √6
ответ: а) √6
А4 Скалярное произведение равно сумме произведений соответствующих координат:
↑a · ↑b = 1 · (- 1) + (- 1) · 1 + 2 · 1 = - 1 - 1 + 2 = 0
ответ: б) 0.
А5 При симметрии относительно оси Ох меняют знак координаты у и z:
А(0; 1; 2) → A₁ (0; - 1; - 2),
B(3; - 1; 4) → B₁ (3; 1; - 4),
C(- 1; 0; - 2) → C₁ (- 1; 0; 2).
B1 Неполное условие. Должно быть так:
Диагональ осевого сечения цилиндра равна √81 см, а радиус основания – 3 см. Найти высоту цилиндра.
Осевое сечение цилиндра - прямоугольник, одна сторона которого (АВ) равна диаметру основания, а другая - образующая (она же высота).
Из прямоугольного треугольника АВВ₁ по теореме Пифагора:
ВВ₁ = √(АВ₁² - АВ²) = √(81 - 36) = √45 = 3√5 см
ответ: 3√5 см
B2 ΔSOA прямоугольный,
R = OA = SA · cos30° = 8 · cos30° = 8 √3/2 = 4√3 см
h = SO = SA · sin30° = 8 · 1/2 = 4 см
Sasb = 1/2 AB · SO = 1/2 · 2R · h = R · h = 4√3 · 4 = 16√3 см²
С1 Если призма вписана в шар, то ее основания вписаны в равные круги - параллельные сечения шара, а центр шара - точка О - лежит на середине отрезка КК₁, соединяющего центры этих кругов.
Отрезок, соединяющий центр шара с центром сечения, перпендикулярен сечению. ОК перпендикулярен плоскости АВС. Тогда КК₁ - высота призмы.
ОА - радиус шара, ОА = 4 см,
КА - радиус сечения, или радиус окружности, описанной около правильного треугольника АВС (призма правильная), тогда
КА = а√3/3, где а - ребро осноавния,
КА = 6√3/3 = 2√3 см
Из прямоугольного треугольника АОК по теореме Пифагора:
ОК = √(ОА² - КА²) = √(4² - (2√3)²) = √(16 - 12) = √4 = 2 см
КК₁ = 2ОК = 4 см
ответ: 4 см
ответ: √(46/41)
Объяснение:
1. Поиск искомого отрезка
1) BM ⊂ (BSD)
AC ∩ (BSD) = O
Проведём в ΔBMD из точки O перпендикуляр к BM
OH ⊥ BM
2) SO - высота пирамиды. Высота попадёт в точку O, так как пирамида правильная. SO ⊥ (BCD)
Проведём HN, HN || SO ⇒ HN ⊥ (BCD) ⇒ NO - проекция OH на (BCD)
3) HO - наклонная, NO - проекция, AC ⊂ (BCD) ⇒ HO ⊥ AC (по теореме о трёх перпендикулярах)
Таким образом, HO - общий перпендикуляр к прямым AC и BM ⇒ расстояние между AC и BM равно HO
2. Нахождение длины отрезка
HO ⊂ (BSD). Найдём HO из ΔBSD.
1) MD = SD/2 = 5/2
Из ΔABD по теореме Пифагора BD = 2√2, OD = BD/2 = √2 (св-во диаг. квадрата).
Тогда из ΔSOD cos∠SDO = OD/SD = √2/5
2) По теореме косинусов в ΔBMD имеем:
BM² = BD² + MD² - 2BD * MD * cos∠SDO
BM² = 8 + 25/4 - 10√2 * √2/5
BM² = 8 + 25/4 - 4
BM² = 41/4
BM = √41/2
3) sin∠SDO = √(1 - cos²∠SDO) = √(1 - 2/25) = √23/5
SΔBMD = 1/2 * MD * BD * sin∠SDO = 1/2 * 5/2 * 2√2 * √23/5 = √46/2
SΔBMD = 1/2 * BM * KD ⇒ KD = 2*SΔBMD : BM = 2*√46/2 : √41/2 = 2√46/√41
4) В ΔBKD OH || KD, BO = OD ⇒ HO - средняя линия ΔBKD ⇒ HO = KD/2 = √46/√41
