2) Находим уравнение плоскости α, проходящей через точку Р1(−4, 3, 5) и перпендикулярной заданной прямой L = Р1Р2:
(x + 4)/1 = (y − 3)/4 = (z − 5)/(−1).
Уравнение плоскости α, проходящей через точку M0(x0, y0, z0) и имеющий нормальный вектор n={A, B, C} представляется формулой:
A(x−x0)+B(y−y0)+C(z−z0) = 0. (2)
Направляющий вектор прямой L имеет следующий вид:
q = {m, p, l} = {1, 4, −1} (3)
Для того, чтобы прямая L была перпендикулярна плоскости α, нормальный вектор плоскости α должен быть коллинеарным направляющему вектору прямой L, т.е. уравнение плоскости (2) примет следующий вид:
m(x−x0)+p(y−y0)+l(z−z0) = 0 (4)
Подставляя координаты точки Р1 и направляющего вектора q в (4), получим:
1(x−(−4))+4(y−3)−1(z−5) = 0 (5)
Упростим уравнение (5): x+4 y−1 z−3 = 0. (6)
ответ. Уравнение плоскости, проходящей через точку Р1(−4, 3, 5) и перпендикулярной прямой (1) имеет вид x+4 y−1 z−3 = 0.
3) Дан треугольник ABC с вершинами A(7;2;3), B(2;-3;4), C(-3;2;-2).
Точка А Точка В Точка С
x y z x y z x y z
7 2 3 2 -3 4 -3 2 -2
Вектор АВ Вектор ВС Вектор АС
x y z x y z x y z
-5 -5 1 -5 5 -6 -10 0 -5
Модуль 51 7,14143 Модуль 86 9,27362 Модуль 125 11,18034
АВ х АС = 45 ВА х ВС = 6 СВ х СА = 80
79,8436 0,5636 66,22688 0,090598 103,6822 0,771588515
0,972056618 Радианы 1,480074279 0,689461756
Угол А = 55,69474166 Угол В = градус 84,80200957 Угол С = 39,50324876.
Данные расчёта в программе Excel плохо форматируются, поэтому дано фото во вложении.
