Высота правильной пирамиды имеет основание в точке пересечения высот основания.
В основании правильной треугольной пирамиды лежит правильный треугольк. Значит в нем высоты медианы и биссектрисы совпадают и равны между собой.
Рассмотрим основание пирамиды. Найдем в нем высоту основания по теореме Пифагора
высота основания = а * (корень из 3) /2
По свойству медиан расстояние от вершины треугольника в основании пирамиды до точки пересечения медиан = (2/3) * высоты = (2/3)* а * (корень из 3) /2 = а * (корень из 3) /3
Этот отрезок, боковое ребро пирамиды и высота пирамиды образуют прямоугольный треугольник. По теореме Пифагора находим высоту пирамиды
= корень из ( б^2 - (а * (корень из 3) /3)^2 ) =![\frac{\sqrt[2]{3}}{3} * (\sqrt[2]{3b^{2} - a^{2}}](/tpl/images/0169/4928/bda41.png)
Проведем перпендикуляр ОН к прямой А1Д, АД он будет пересекать в пункте М, М - середина АД (это можно доказать следоющим образом : АД1 // МО ( угол ДКА = углу ДНМ = 90 град ( НО - перпендикуляр , а диогонали квадрата АД1 и А1Д пересекаются под примым углом), а если пункт О - середина ДД1, то МО - средняя линия тр. АДД1 и значит М - середина АД)
Соеденим пункты М, Т и О и получим сечение МТО перпендикулярное плоскости А1ДС
АД = ДД1 = 4 см ( по условию)
Найдем диогональ АД1 по т. Пифагора из прямоугольного тр. АДД1:
AД1^2 = AД^2 +ДД1^2
AД1^2 = 4^2 + 4^2
AД1^2= 32
АД1 = 4 под корнем 2
АД1 = АС = Д1С = 4 под корнем 2 (диогонали равных квадратов)
МО, МТ и ТО - средние линии треугольников АДД1, АДС и ДД1С соответственно
МО = АД1/ 2 = 2 под корнем 2
МТ = АС/ 2 = 2 под корнем 2
ТО = Д1С/ 2 = 2 под корнем 2
МТО - ровносторонний треугольник
Площадь МТО ровна ( см во вложении), где а- сторона этого треугольника.
ответ: 2 корень из 2 см^2
