Расстояние от точки P до плоскости правильного шестиугольника со стороной 8 см равно 8 см. Найдите расстояние от точки P до сторон шестиугольника, если она равноудалена от каждой из них.
• Если точка Р равноудалена от сторон правильного шестиугольника, то она проецируется в центр шестиугольника, то есть в точку пересечения его бо'льших диагоналей, в точку О.
• Опустим из точки О перпендикуляр ОТ к СD. РО перпендикулярен ОТ, ОТ перпендикулярен CD, следовательно по теореме о трёх перпендикулярах РТ перпендикулярен CD, то есть PT - искомое расстояние.
• Бо'льшие диагонали правильного шестиугольника делят его на шесть правильных, то есть равносторонних треугольников.
• В тр. COD: OT = CDV3 / 2 = 8V3 / 2 = 4V3 см
В тр. РТО : по т. Пифагора РТ = V( ( 4V3 )^2 + 8^2 ) = V( 48 + 64 ) = V112 = 4V7 см.
ОТВЕТ: 4V7.
а) Отрезки касательных, проведенных из одной точки, равны.
DA=DC, EB=EC
P(MDE)= MD+DC+ME+EC =MD+DA+ME+EB =MA+MB
Кроме того, MA=MB => P(MDE)/2 =MA=MB
б) Радиусы OA и OB перпендикулярны касательным. Сумма противоположных углов четырехугольника AOBM равна 180, ∠AOB+∠M=180. По свойству отрезков касательных из одной точки* OD - биссектриса ∠AOC, OE - биссектриса ∠BOC.
∠DOE= ∠AOC/2 +∠BOC/2 =∠AOB/2 =(180-∠M)/2
----------------------------
*△DOA=△DOC по катету (радиус) и общей гипотенузе, их соответствующие элементы равны. Аналогично △EOB=△EOC.
