. Две прямые касаются окружности с центром О в точках А и В и пересекаются в точке С.
Найдите угол между этими прямыми, если по действиям
.

Найдем величину тупого угла ромба. (360-60*2):2=120. Т.к. сумма  всех углов равна 360, и противоположные углы равны.
Проведем диагональ ромба, соединяющую два его тупых угла. Диагональ ромба является биссектриссой. Т.о. эта диагональ разделила наш ромб на два раносторонних треугольника, т.к. все углы получились по 60 градусов, значит треугольник равносторонний. В равностороннем треугольнике высота является медианой. Медиана делит противоположную сторону на два равных отрезка Значит длины отрезков на которые высота разделила сторону равны 32:2=16 

 Внутри треугольника АВС взята точка D такая, что угол ABD = угол ACD = 45°. Докажите, что отрезки AD и BC перпендикулярны и равны, если угол ВАС равен 45°

                        *   *   *

 Продлим ВD  до пересечения с АС в т.Н, а отрезок СD - до пересечения с АВ в т.К и проведем АМ через т.D.

∠АСD=45° по условию, Если ∠ВАС=45°, то  ∠АКС=90° и ∆ АСК – равнобедренный прямоугольный.  АК=СК.

  В ∆ АВН  два угла при АВ равны 45°⇒∠ВНА=90° и ∆ АВН - равнобедренный прямоугольный, Тогда точка D - пересечение высот СК и ВН треугольника АВС. Отрезок АМ, содержащий АD,  проходит через точку пересечения высот, следовательно, является высотой и перпендикулярен ВС. Отсюда АD⊥ВС. Доказано.

 Прямоугольные ⊿ АКD и ⊿ CMD подобны по равному углу при вершине   D ( вертикальные) ⇒ ∠КАD=∠MCD.

 Рассмотрим ⊿ АКD и ⊿ ВКС. Из ⊿ АКС их катеты АК=СК. Острые ∠КАD и ∠КСВ равны (из доказанного выше). Следовательно, ⊿ АКD=⊿ ВКС по катету и острому углу. Отсюда следует равенство гипотенуз этих треугольников.  АD=ВС, ч.т.д.