Постройте треугольник ABC: AB = 3 см, AC = 5 см, BC = 7 см

ТЕСТ:
1. Треугольник всегда можно построить если известны …
A) 1 его элемент С) 3 его элемента
В) 2 его элемента D) 4 его элемента
2. Треугольник нельзя построить по …
А) трем сторонам С) трем углам
В) углу и двум сторонам D) двум углам и стороне
3. Из любых трех отрезков можно составить треугольник …
А) всегда С) никогда
В) не всегда
4. Для решения задач на построение принято использовать …
А) транспортир, линейку С) линейку, циркуль
В) карандаш, ластик D) циркуль, угольник
5. Кто первый из греческих ученых занимался задачами на построение?
А) Фалес С) Евклид
В) Платон D) Пифагор

Если принять AC = BC = 1; то AB = √2;
Если симметрично отобразить треугольник вместе с полуокружностью относительно AC, то получится равнобедренный прямоугольный треугольник ABB1 с гипотенузой BB1 = 2 и вписанной в него окружностью. Отсюда диаметр этой окружности PC = AB + AB1 - BB1 = 2√2 - 2;
Треугольник PCB - прямоугольный с катетами BC = 1; PC = 2√2 - 2;
Если M - точка пересечения PB и полуокружности, то ∠CMP - прямой, поскольку опирается на диаметр, то есть CM - высота в прямоугольном треугольнике PCB; она делит гипотенузу PB в отношении, равном квадрату отношения катетов, то есть
PM/MB = (PC/BC)^2 = 4(√2 - 1)^2 = 4(3 - 2√2);

Подробно.
Пусть даны катет АС и отрезок СК, равный сумме второго катета и гипотенузы. Нужно с циркуля и линейки построить прямоугольный треугольник АВС. 

1)На произвольной прямой отмечаем точку С. 

Из точки С возводим перпендикуляр. Для этого по обе стороны от С отмечаем точки 1 и 2 и из них, как из центра, проводим полуокружности по обе стороны от С. Точки пересечения соединяем. 

На перпендикуляре откладываем длину данного катета, ставим точку А - это вторая вершина треугольника. 

2) От С откладываем отрезок СК, равный сумме второго катета и гипотенузы. 

Соединим К и А 

3) Из А и К как из центров раствором циркуля больше половины АК проведем две полуокружности. Соединим точки их пересечения и продлим, если нужно, до пересечения с СК. 

Обозначим это пересечение В, а пересечение с АК точкой М. 

М - середина АК. 

Соединим А и В. 

Треугольник АВК - равнобедренный: АМ=МК по построению,  МВ - высота и медиана. 

АВ=КВ

В треугольнике АВС   сумма длин сторон АВ и ВС  равна СК. Следовательно, треугольник АВС - искомый.

В нем АС - заданный катет, АВ+ВС =СК, т.е. заданной сумме двух других сторон.  

(Можно построение провести немного иначе: Провести в ∆ САК  из середины АС параллельно СК прямую до пересечения с АК в точке М, которая разделит АК пополам, а затем провести к М перпендикуляр МВ, отметив по обе стороны от М центры 3 и 4 окружностей и далее как при возведении перпендикуляра СА).