Два угла треугольника равны 40° и 52°. Найдите тупой угол, который образуют высоты треугольника, выходящие из вершин этих углов.
- - -
Дано :ΔАВС.
∠А = 40°.
∠В = 52°.
ВН₁ и АН₂ - высоты.
Точка О - ортоцентр (точка пересечения высот).
Найти :∠АОВ = ? (или ∠Н₁ОН₂, не важно, так как они равны как вертикальные).
Решение :Немного о расположении ортоцентра О :
Для начала найдём ∠С.
По теореме о сумме углов треугольника -
∠А + ∠В + ∠С = 180°
∠С = 180° - ∠А - ∠В
∠С = 180° - 40° - 52°
∠С = 88°.
Так как все углы ΔАВС - острые, то ортоцентр О лежит внутри ΔАВС.
- - -
Рассмотрим ΔСВН₁ - прямоугольный (так как ∠ВН₁С = 90° по определению высоты треугольника).
Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.Тогда -
∠Н₁СВ + ∠Н₁ВС = 90°
∠Н₁ВС = 90° - ∠Н₁СВ
∠Н₁ВС = 90° - ∠Н₁СВ
∠Н₁ВС = 90° - 88°
∠Н₁ВС = 2°.
Теперь рассмотрим ΔОВН₂ - прямоугольный (так как ∠ОН₂В = 90°).
По выше сказанному -
∠ВОН₂ + ∠ОВН₂ = 90°
∠ВОН₂ = 90° - ∠ОВН₂
∠ВОН₂ = 90° - 2°
∠ВОН₂ = 88°.
- - -
∠ВОН₂ и ∠АОВ - смежные.
Сумма смежных углов равна 180°.Следовательно -
∠ВОН₂ + ∠АОВ = 180°
∠АОВ = 180° - ∠ВОН₂
∠АОВ = 180° - 88°
∠АОВ = 92°.
ответ :92°.
Дано:
а||b
c - секущая
∠5=33°
Найти: ∠6,∠7,∠2,∠5,∠4,∠1,∠3,∠8
∠5=33°
1)∠2 и ∠5 - вертикальные
∠2=∠5=33° (по св-ву вертикальных углов)
2) ∠6- смежный с ∠5
∠6+∠5=180° (по св-ву смежных углов)
∠6=180°-∠5=180°-33°=147°
3) ∠4 и ∠6 - вертикальные
∠4=∠6=147° (по св-ву вертикальных углов)
a||b
4) ∠1 и ∠4 - накрест лежащие при прямых а и b
∠1=∠4=147° (по обратной теореме параллельных прямых)
5) ∠3 и ∠2 - накрест лежащие
∠3=∠2=33° ( по обратной теореме параллельных прямых)
6) ∠8 и ∠4 - соответственные при прямых а и b
∠8=∠4 =147° ( по обратной теореме параллельных прямых)
7) ∠7 и ∠2 -соответственные при прямых а и b
∠7=∠2=33° (по обратной теореме параллельных прямых)
ответ: 33°,33°,147°,147°,33°,33°,147°,147°
