Дан прямоугольный треугольник АВС (угол С=900). В нём проведена

высота СН. АН=3, НВ=9. Найти высоту треугольника, катеты, а также синус

угла А и тангенс угла В.

Ромб ABCD, точка пересечения диагоналей О, К - точка на стороне АВ.
АК=2
ВК=8
1- рассмотрим прямоугольный треугольник AOB. У него АВ=10см (т. к. АК+ВК=2+8=10). А катеты АО и ВО примем АО=х, ВО= у
2- из теоремы пифагора (квадрат гипотенузы (АВ^2) равен сумме квадратов катетов (АО^2+ВО^2)) ( X)^2 означает X в квадрате
т. е. АВ^2=AO^2+BO^2. подставим нашу замену получим 10^2=x^2+y^2, 100=x^2+y^2
3- рассмотрим прямоугольный треугольник AOK. Его стороны это АК=2, ОК и АО=x
в нем тоже по теореме пифагора получаем: AO^2=AK^2+OK^2, подставим значения получим x^2 = 2^2 + OK^2 x^2 = 4 + OK^2
4- рассмотрим прямоугольный треугольник BOK. Его стороны это BК=8, ОК и BО=y
в нем тоже по теореме пифагора получаем: BO^2=BK^2+OK^2, подставим значения получим y^2 = 8^2 + OK^2 y^2 =64 + OK^2

Рассмотрим уравнения из пункта 3 и 4
x^2 = 4 + OK^2
y^2 =64 + OK^2
Выразим из каждого OK^2, получим
OK^2=x^2-4
OK^2=y^2-64
получаем
x^2-4=y^2-64
x^2=y^2-60
Решим теперь систему уравнений
x^2=y^2-60
100=x^2+y^2 (уравнение из пункта 2)
Подставим полученное x^2 в уравнение из пункта 1, получим систему
x^2=y^2-60
100=y^2-60+y^2

x^2=y^2-60
2*y^2=160

x^2=y^2-60
y^2=80
Теперь подставим y^2=80 в первое уравнение системы, получим систему

x^2=80-60
y^2=80

x^2=20
y^2=80
__
x=2 V 5 (два корня из пяти)
__
y=4 V 5 (четыре корня из пяти)

ответ: __ __ __ __
Диагонали ромба это АС=2*x = 2*2 V 5 = 4V 5 и BD=2*y= 2*4 V 5 = 8 V 5

1.Треугольник АВС - прямоугольный, т.к. сумма углов в треугольнике равна 180°, 180 - 60 -30 =90°, ∠А = 90°,⇒ ВС - гипотенуза. ∠В = 60° и противолежащий АС, а значит равен а√3 ( а я обозначу длину АВ), а значит АВ равно 6√3, а значит ВС = АВ*2 = 12√3

2. Первый Треугольник прямоугольный, а значит сумма углов при гипотенузе равна 90°. ∠С = 60°, ⇒∠В = 90°-60°=30°, что и требовалось доказать

Второй по  свойству прямоугольного треугольника с углом 30° противолежащий катет равен половине гипотенузы. Углу В противолежит катет АС. ВС - гипотенуза. Теперь сравним АС и ВС.

АС : ВС= 12:24 = 1:2,⇒∠В равен 30°, что и требовалось доказать.

Отметь решение как лучшее я старалась расписывать