Окружность, вписанная в треугольник АВС, касается его сторон АВ, ВС, АС в точках М, Р, К. Найдите периметр треугольника АВС, если АВ=13 см, МВ=8см, РС=3см.

АВ = Рabcd : 4 = 12 : 4 = 3 см
ВВ₁ и DD₁ - медианы, значит
AD₁ = D₁B = AB₁ = B₁D = 3/2 см

ΔABD равнобедренный, поэтому
∠ABD = ∠ADB,
BD₁ = DB₁, BD - общая сторона для ΔDD₁B и ΔBB₁D, значит эти треугольники равны по двум сторонам и углу между ними, ⇒
BB₁ = DD₁.

Медианы точкой пересечения делятся в отношении 2 : 1, считая от вершины.
Обозначим OD₁ = OB₁ = x, тогда OD = OB = 2x.
ΔOBD равнобедренный, значит ∠OBD = ∠ODB = 40°.
∠D₁OB = ∠OBD + ∠ODB = 80° как внешний угол ΔDOB.

Рассмотрим ΔD₁OB. По теореме косинусов
D₁B² = OD₁² + OB² - 2·OD₁·OB·cos 80°
9/4 = x² + 4x² - 2 · x · 2x · cos80°
9/4 = 5x² - 4x² · cos80°
9/4 = x² (5 - 4cos80°)
x² = 9 / (4(5 - 4cos80°))
x = 3  / (2√(5 - 4cos80°))

BB₁ = 3x = 9  / (2√(5 - 4cos80°)) или


Если необходимо числовое значение, а не выражение, можно взять значение cos 80° по таблице, тогда получится:
cos 80° ≈ 0,1736
BB₁  = 9  / (2√(5 - 4cos80°)) ≈ 2,2

В любом треугольнике должно выполняться так называемое неравенство треугольника: сумма любых двух сторон больше третьей стороны.
Т.е. должно быть
a+b>c,
b+c>a и
a+c>b, где а,b,c - длины сторон треугольника.
Т.к. здесь 1+2<4, а должно быть наоборот, то такого треугольника не существует.
Неравенство треугольника очевидно, если взять большую сторону, и к ее концам прицепить отрезки равные оставшимся сторонам, то если их сумма будет меньше этой большей стороны, то они не соединятся в точку, их длин не хватит чтобы образовать треугольник.