На грани ABC тетраэдра ABCD отметили точку P. Точки A1,B1,C1 — проекции точки P на грани BCD, ACD, ABD соответственно. Оказалось, что PA1=PB1=PC1. Найдите ∠BA1C, если известно, что ∠BC1D=135∘, ∠CB1D=111∘.

Так как A внутри BCD, AB=AD, то BAD - тоже равнобедренный треугольник, и у него общее с BCD основание BD. Поставим точку K так, что BK=KD, тогда KC - медиана BCD, KA - медиана BAD.
Докажем второй пункт.  Как известно, высота равнобедренного треугольника совпадает с его медианой и биссектрисой и является его осью симметрии. Также, любые два равнобедренных треугольника, построенные на одном основании, обладают общей осью симметрии и, как следствие, общей высотой/медианой/биссектрисой. Тогда получаем, что KA⊂KC и все три точки лежат на KC.
Это автоматически доказывает первый пункт, т.к. непонятные ∠ACB и ∠ACD превращаются в углы при биссектрисе ∠KCB=∠KCD, которые равны между собой.

Выразим, чему равны угла А и В треуг-ка АВС.
Пусть <А = х, тогда
<B=90-<A=90-x.
Треугольники КАС и МВС равнобедренные по условию. Значит, углы при их основаниях КС и МС равны. <CKA=<KCA=<1, <CMB=<MCB=<2
Выразим, чему равны углы 3 и 4 в этих треуг-ах:
<3=180-<A=180-x
<4=180-<B=180-(90-x)=90+x
Выразим углы 1 и 2, зная, что сумма углов треугольника равна 180°:
<1=(180-<3):2=(180-(180-x)):2=x:2
<2=(180-<4):2=(180-(90+x)):2=(90-x):2
<KCM=<1+90+<2
<KCM=x:2 + 90 + (90-x):2 = 135°