На стороне ВС параллелограмма ABCD отмечена такая точка М, что ВМ : МС = 1 : 3. Чему равна площадь треугольника АВМ, если площадь параллелограмма равна S?
Чертёж смотрите во вложении.
Дано:
Четырёхугольник ABCD - параллелограмм.
Точка М ∈ ВС.
ВМ : МС = 1 : 3.
S(ABCD) - S.
Найти:
S(ΔАВМ) = ?
Пусть ВМ = х, тогда МС = 3х, АВ = у. Площадь ΔАВМ обозначим как S₁.
Площадь параллелограмма равна произведению смежных сторон и синусу угла между ними.
Следовательно -
S(ABCD) = ВС*АВ*sin (∠В)
ВС = ВМ+МС = х+3х = 4х.
То есть -
S = 4ху*sin (∠В)
Рассмотрим ΔАВМ.
Площадь треугольника равна половине произведения смежных сторон и синуса угла меду ними.
То есть -
S(ΔАВМ) = 0,5*ВМ*АВ*sin (∠В)
S₁ = 0,5*хy*sin (∠В).
Из первого уравнения системы следует, что -
Подставим это значения во второе уравнение системы -
S(ΔАВМ) = S(ABCD)/8
S(ΔАВМ) = S/8.
ответ: S/8.
Объяснение:
2) АВСМА₁В₁С₁ М₁-куб, Р,Т,К –середины сторон соответственно АВ, АА₁, АМ, S(сеч)= √10/4 .
Обозначим ребро куба х.
В сечении куба плоскостью, проходящей через середины сторон трех измерений-получился равносторонний ΔТКР (ΔТАР=ΔТАК=ΔКАР как прямоугольные по 2-м катетам) , S( равностор.тр)=(а²√3)/4 ⇒
√10/4=(ТР²√3)/4 , ТР²=√(10/3) .
Т.к. АВ=х, то АР=АТ=(х/2)
ΔТАР -прямоугольный по т. Пифагора (х/2)² +(х/2)² =ТР² ,
2*(х/2)² =√(10/3) , х²=2*√(10/3), х=√(40/3),
V(куба) =√(40/3)* √(40/3)* √(40/3) =40/3*√(40/3) (см³)
