Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 289, а высота, опущенная на неё, равна 120. Найдите катеты.

136 и 255 32‍√33 и 223 161 и 240 185 и 222

2. ABC — прямоугольный треугольник, ∠C = 90‍∘, sin ∠A = 0,6, BC = 6. Найдите AC.

5 6 7 8

3. Найдите радиус вписанной окружности треугольника со сторонами 9, 40, 41.

4 3 2‍√2 ‍

‍ ‍√41

‍ 3

4. Диагонали равнобедренной трапеции перпендикулярны. Найдите боковую сторону, если основания равны 3 и 5.

‍√15 4 ‍√17 3‍√2

5. Катеты прямоугольного треугольника равны 1 и ‍√2 − 1. Найдите меньший угол.

15‍∘ 18‍∘ 22‍∘ 30‍′ 23‍∘ 15‍′

6. Тангенс угла прямоугольного треугольника равен ‍

‍ 2

‍ 3

, а гипотенуза равна 8. Найдите длину высоты, опущенной из вершины прямого угла.

‍√10 3,5 ‍

‍ 48

‍ 13

‍

‍ 65

‍ 17

7. Синус угла прямоугольного треугольника равен 0,3. Прилежащий катет равен 10. Найдите длину высоты, опущенной из вершины прямого угла.

‍√3 2,4 3 4

8. Точка касания вписанной окружности ромба со стороной делит её на отрезки 1 и 3. Найдите высоту ромба.

4 2‍√3 2‍√2 2

9. Радиус вписанной окружности равностороннего треугольника равен 2. Найдите сторону.

4 2‍√3 ‍

‍ 16

‍ ‍√3

4‍√3

10. Площадь равностороннего треугольника равна 6‍√3. Найдите радиус описанной окружности.

2 ‍

‍ 3‍√3

‍ 2

2‍√2 3

можно ответы без комментариев

  Обозначим параллелограмм АВСD. Проведем высоты из вершин острых углов параллелограмма.  Они пересекутся с продолжениями сторон.  СТ- высота к АD , АК - высота к СD. Прямоугольные треугольники АКD и СТD подобны по равному острому углу при D ( они вертикальные). k=AK:CT=2.  Отношение площадей подобных фигур равно квадрату их коэффициента подобия. ⇒ S(AKD)=4S(CTD)

  Из ∆ АСТ по т.Пифагора АТ=5. Из ∆ АСК по т.Пифагора СК=4. Площадь половины параллелограмма S(АСD)=S(ACT)-S(CTD). Она же равна S(ACK)-S(AKD) Подставим в уравнения известные значения и приравняем их. 0,5•5•√3 - S(CTD)=0,5•4•2√3 -4S(СТD), откуда получим S(CTD)=(3√3):6=0,5√3

Ѕ АВСD=2•S(ACD)=2•[(0,5•5•√3-0,5√3)]=4√3 ⇒ S²=(4√3)²=48

Гульсарочка как то вокруг решения ходит :) Диагонали у параллелограмма не равны, только у прямоугольника. 

Вот как можно поступить. Берется прямоугольный треугольник со стронами 5,12,13. На катете 12 от вершины прямого угла откладывается отрезок, равный малому катету, то есть 5, и соединяется с противоположной вершиной треугольника. Получился треугольник со сторонами 12 - 5 = 7, 13 и 5*корень(2). 

Вот на такие два треугольника и делит заданный параллелограмм диагональ длинны 13. Можно легко достроить его, проведя 2 линии, параллельные сторонам этого треугольника, через противоположные вершины.

Площадь такого параллелограмма равна 5*7 = 35.

Вот какая штука. В моем решении (и - между прочим, в решении Гульсарочки!) вторая сторона параллелограмма получается 5*корень(2), что больше 7 (совсем немного, но - больше). Поэтому вторая высота (проведенная к этой стороне) - меньше 5 (произведение высоты на сторону равно площади). Поэтому мое решение не соответствует условию, в котором сказано, что 13 - наибольшая из диагоналей, а 5 - наименьшая из высот. 

В решении же Гульсарочки, которое получается, если от вершины прямого угла откладывается отрезок, равный 5, вдоль продолжения катета 12, то есть длина стороны параллелограмма равна 12 + 5 =17. Это решение ничем не хуже и не лучше моего, поскольку тоже не удовлетворяет всему условию :) - в этом случае диагональ 13 не наибольшая.