Пусть в треугольнике АВС основание АС=28 см, высота ВН=24 см, АВ+ВС=56 см. Примем АВ=х, тогда ВС=56-х.
Площадь ∆ АВС равна половине произведения высоты на основание. Ѕ(АВС)=24•28:2=336 см².
По формуле Герона S(ABC)=√{p•(p-х)(р-28)(р-(56-х)} Полупериметр Δ АВС p=(28+56):2=42 см. ⇒ S(ABC)=√42•(42-х)(42-28)(42-(56-х))=336 см² ⇒ √[42•14•(42-х)•(х-14)]=336 Возведем обе части уравнения в квадрат. 588•(42-х)(х-14)=336². Сократив обе части на 588 и произведя необходимые действия, получим квадратное уравнение х²-56х+780=0, D= -56²-4•1•780=16. Дискриминант больше нуля, поэтому уравнение имеет два корня: х₁=30, х₂=26. Боковые стороны данного треугольника равны 30 см и 26 см.
Пусть вершины треугольника, лежащего в основании пирамиды будут А,В,С, а вершина пирамиды S.
Проведём апофему SD(высоту боковой грани) СSB. Соединим вершину А тр-ка АВС и точку D. Угол SDA = 60°(по условию).
Все углы тр-ка АВС равны по 60°, т.к тр-к этот правильный. Найдём AD - высоту основания АВС: AD = АС·sin 60° = 2√3 ·0,5√3 = 3.
SA является высотой пирамиды, потому что две боковые грани пирамиды SAC и SAB перпендикулярны к плоскости основания. Тогда SA является вычсотой пирамидв.
SA = AD·tg угла SDA = 3·tg 60° = 3·√3 = 3√3.
Площадь Sосн АВС пирамиды равна
Sосн = 0,5·АС·AD = 0,5·2√3·3 =3√3
Объём пирамиды
Vпир = 1/3 Sосн·SA = 1/3 · 3√3·3√3 = 9
ответ: Vпир = 9см³
