Каким свойством должен обладать четырехугольник, чтобы в него можно было вписать окружность? В какие четырехугольники (параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат, трапеция) можно вписать окружность? выполните построение по правилу.Каким свойством должен обладать четырехугольник, чтобы около него можно было описать окружность? Около каких четырехугольников (параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат, трапеция) можно описать окружность? выполните построение по правилу.

Пусть первый угол будет х, второй 2х, третий 3х. Сумма углов треугольника равна 180°. Можно записать:
х+2х+3х=180
6х=180
х=30
Значит, первый угол равен 30°, второй 2*30=60°, третий 3*30=90°. Данный треугольник, таким образом, прямоугольный. 
Зная, что катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы, можно записать:
АС=АВ:2.
Можно обозначить сторону АС за х, тогда получаем:
АВ=АС*2=2х
cos 30 = BC:AB, отсюда 
BC= cos 30 * AB=√3/2 * 2x= x√3
Т.е. соотношение сторон АС : ВС : АВ=х : x√3 : 2x или 1 : √3 : 2

 В треугольнике MKP MK = 12 см, угол М = 30°, угол Р = 90°. Плоскость α проходит через сторону MP и образует с плоскостью MKP 60°. Найдите расстояние от точки К до плоскости α

РК в треугольнике МКР противолежит углу 30° и потому равен МК* sin (30°)
МК.*1/2
РК=6 см 
СР, образующая угол 60° с плоскостью α , перпендикулярна МР.
Расстояние от точки до плоскости - перпендикуляр, проведенныйиз этой точки к плоскости. 
На рисунке это отрезок КН, перпендикулярный к плоскости α.
Треугольник КНР - прямоугольный. 
КН=РК*sin (60°)=(6*√3):2=3√3 см