В равнобедренной трапеции диагонали равны и точкой пересечения делятся попарно на равные отрезки. То есть ВО=СО; МО=АО.
Тогда ∆ВОС и ∆АОМ – равнобедренные с основаниями ВС и АМ соответственно.
Следовательно угол ВСО=угол СВО=45° и угол МАО=угол АМО=45°.
Сумма углов в любом треугольнике равна 180°
Тогда угол ВОС=180°–угол ВСО–угол СВО=180°–45°–45°=90°;
Угол АОМ=180°–угол МАО–угол АМО=180°–45°–45°=90°.
Следовательно треугольники ВОС и АОМ – прямоугольные с прямыми углами ВОС и АОМ соответственно.
В прямоугольном треугольнике ВОС по теореме Пифагора:
ВС²=ВО²+СО²
Пусть ВО=СО=х
3²=х²+х²
2х²=9
х²=4,5
х=√4,5
Тоесть СО=√4,5 см
В прямоугольном ∆АОМ по теореме Пифагора:
АМ²=АО²+МО²
Пусть АО=МО=у
6²=у²+у²
2у²=36
у=√18
Тоесть МО=√18 см
Угол СОМ=180°–угол АОМ=180°–90° (так как углы смежные)
Тогда ∆СОМ – прямоугольный с прямым углом СОМ.
Тогда в прямоугольном треугольнике СОМ по теореме Пифагора:
СМ²=СО²+МО²
СМ²=4,5+18
СМ=√22,5
Проведём высоты СР и ВН к стороне АМ.
Высоты трапеции, проведенные из концов одного основания, к другому, паралельны и равны.
Углы образованные высотой и стороной, к которой проведена высота, прямые;
Тогда ВСРН – прямоугольник, следовательно НР=ВС=3.
Получим два прямоугольных треугольника СРМ и ВНА.
СР=ВН так как высоты трапеции равны, АВ=СМ как боковые стороны равнобедренной трапеции
Значит треугольники СРМ и ВНА равны как прямоугольные по гипотенузе и катету.
Следовательно РМ=АН как соответственные катеты.
Тогда РМ+АН=2РМ.
АМ=АН+НР+РМ
АМ=НР+2РМ
6=3+2РМ
РМ=1,5
В прямоугольном треугольнике СРМ по теореме Пифагора:
СМ²=СР²+РМ²
СР²=СМ²–РМ²
СР²=22,5–2,25
СР²=20,25
СР=4,5
ответ: 4,5 см
Xm=(Xa+Xb)/2 = (4-2)/2=1. Ym=(Ya+Yb)/2= (5-1)/2=2. M(1;2). Xk=(Xa+Xb)/2 = (-2-2)/2=-2. Yk=(Ya+Yb)/2= (5+3)/2=4. K(-2;4).
б) |MC|=√[(Xc-Xm)²+(Yc-Ym)²]=√[(-2-1)²+(3-2)²]=√10.
|KB|=√[(Xb-Xk)²+(Yb-Yk)²]=√[(4+2)²+(-1-4)²]=√61.
в) |MK|=(1/2)*|BC|. |BC|=√[(Xc-Xb)²+(Yc-Yb)²]=
√[(-2-4)²+(3+1)²]=√52. |MK|=√52/2=√13.
Или так: |MK|=√[(Xk-Xm)²+(Yk-Ym)²]=√[(-2-1)²+(4-2)²]=√13.
г) |AB|=√[(Xb-Xa)²+(Yb-Ya)²]=√[(4+2)²+(-1-5)²]=6√2. |BC|=√[(Xc-Xb)²+(Yc-Yb)²]=√[(-2-4)²+(3+1)²]=√52.
|AC|=√[(Xc-Xa)²+(Yc-Ya)²]=√[(-2+2)²+(3-5)²]=2.
