Сколько сторон имеет выпуклый многоугольник, если сумма его внутренних углов равна 4140º *

Обозначим трапецию (слева снизу по часовой стрелке) ABCD. Пусть прямой угол будет D. Значит высота будет CD. Тогда малая диагональ BD и она равна по условию AD, т.е. треугольник ADB - равнобедренный, BD=AD,  <ABD=<BAD = a
Тогда <ADB = 180 -2*a,  а <BDC= 90 - <ADB = 2*a -90

Площадь трапеции равна полусумме оснований, умноженной на высоту.

S=(AD+BC)* CD/2
Выразим AD и BC  через высоту
BC= CD* tg<BDC=CD*tg(2*a-90)
BD= CD/cos(2*a-90), но AD=BD,  значит
AD=CD/cos(2*a-90)

(CD*tg(2*a-90)+CD/cos(2*a-90))*CD/2= S
(CD*sin(2*a-90) +CD)*CD/(2*cos(2*a-90)=S
             sin (2*a-90)+1
CD^2 *  = S
             2*cos(2*a-90)

                      2*S*cos(2*a-90)
CD =корень( )
                       sin (2*a-90)+1

Трапеция АВСД:  А =В = 90гр
пусть большее основание равно АД = а, а меньшее равно ВС = в, высота трапеции АВ = Н, угол Д = α
По условию диагональ АС = АВ  (большей стороне), тогда ΔАСД равнобедренный и АС = а, а угол АСД = α
В прямоугольном ΔАВС гипотенуза АС = а, катет АВ = Н и угол АСВ = 180 - 2α.
Выразим а и в через Н:
а = Н/sin (180 - 2α) = H/sin 2α
b = H/tg (180 - 2α) = -H/tg 2α
Площадь трапеции S = 0.5(a + b)·H
S = 0.5(H/sin2α -H/tg 2α)·H
S = 0.5H²(1/sin 2α - cos2α/sin2α)
S = 0.5H²(1 - cos 2α)/sin 2α
S = 0.5H² · 2sin²α/(2sin α · cos α)
S = 0.5H² · sin α/ cos α
S = 0.5H² · tg α
H²  = 2S/tg α
H²  = 2S ·ctg α
H = √(2S·ctg α)