Докажите что радиус описанной около правильного треугольника равна диаметр вписанного в него круга

Сделаем рисунок к задаче.

Обозначим вершины параллеограмма привычными буквами АВСD.

Проведем биссектрисы углов В и С, которые пересекутся на АD в точке М.

Биссектрисы образовали со сторонами параллелограмма треугольники, причем

∠ СВМ= ∠ АМВ  по свойству углов при пересечении параллельных прямых и секущей, а

∠ АВМ= ∠МВС -  как половины угла В.

То же самое с углами ВСМ и СМD.

Раз углы при основании ВМ  Δ АВМ и основании СМ Δ СМD равны,

оба этих треугольника - равнобедренные.

В треугольнике АВМ сторона АВ равна стороне АМ,
В треугольнике МDС сторона МD равна стороне СD.

Но АВСD- параллелограмм, и стороны АВ и CD равны по определению.

Следовательно, АМ=MD и АD=2АВ ( или 2 CD, что одно и то же)

Р АВСD= 2( АВ+АD) Подставим в значение периметра 2 АВ вместо AD.
Р АВСD= 2( АВ+2АВ)
30= 6 АВ
АВ=5 см
Ответ: Длина короткой стороны параллелограмма равна 5 см

Две стороны  √2 и  √3 неизвестная сторона x радиус описанной окружности r полупериметр p = (x + √2 + √3)/2 площадь по формуле герона s² = p(p-a)(p-b)(p-c) s² = 1/2⁴*(x + √2 + √3)(x + √2 + √3  - 2√2)(x + √2 + √3  - 2√3)(x + √2 + √3  - 2x) 16s² =  (x + √2 + √3)(x + √3  - √2)(x + √2  - √3)(√2 + √3  - x) первые две скобки (x + √2 + √3)(x + √3  - √2) = x²  + 2√3*x + 1 третья и четвёртая скобки(x + √2  - √3)(√2 + √3  - x) = -  x²  + 2√3*x - 1 полное произведение(x²  + 2√3*x +   x²  + 2√3*x - 1) = - x⁴ + 10x² - 1 16s² = - x⁴ + 10x² - 1 радиус описанной окружности через площадь и стороны r = abc/(4s) r = x√2√3/(4s) r² = x²*2*3/(16s²) 16s²*r² = 6x² по условию r = x (- x⁴ + 10x² - 1)x² = 6x² - x⁴ + 10x² - 1 = 6 - x⁴ + 10x² - 7 = 0 подстановка  t = x² t² - 10t + 7 = 0 t₁  = (10 - √(100 - 28))/2 = 5 - √72/2 = 5 - √18 = 5 - 3√2  ≈ 0,7574 > 0 x₁ = +√(5 - 3√2) (отрицательный корень отбросили) t₂  = (10 + √(100 - 28))/2 = 5 + 3√2  x₂ = +√(5 + 3√2) (ещё один отрицательный корень отбросили) итого - два ответа √(5 - 3√2) √(5 + 3√2)