1. Вычислите углы треугольника АВС, если ∠А = 120о, а ∠В = 2∠С.

2. Начертите две параллельные прямые и секущую их прямую. Отметьте пару внутренних накрест лежащих углов. Постройте биссектрису каждого из них. Докажите, что эти биссектрисы параллельны.

3. В треугольнике АВС ∠А = 70о, ∠С = 75о, АА1 – биссектриса треугольника АВС, отрезок ВА1 = 4 см. Найдите длину биссектрисы АА1.

4. В тетраэдре KМОР KМ = KО = KР, ∠KОМ = 50о, ∠ОKР = 80о. Докажите, что треугольник МОР – равнобедренный.

Дано:ABCD - ромб.AB = 5 см.BD = 6 см.OK ⊥ ABCD.Найти KA, KB, KC, KD.
Решение:О - точка пересечения диагоналей. Значит AO = CO, BO = DO = 3 см.Рассмотрим треугольники BOK и DOK. Они оба прямоугольные, т.к. OK - перпендикуляр. Сторона OK общая, BO = DO. Значит, эти треугольники равны и KB = KD. Из треугольника BOK по т. Пифагора KB = √(64+9) = √(73) см.
Найдём диагональ AC. Сумма квадратов диагоналей ромба равна квадрату стороны, умноженному на 4.AC^2+BD^2 = 4*AB^2AC^2 +36 = 4*25AC^2 = 64AC = 8 см.Тогда AO =CO = 4 см.Треугольники AKO и CKO равны, т.к. прямоугольные, KO - общая сторона, AO = CO. Из треугольника CKO по т. ПифагораKC = √(64+16) = √(80) см.

1)  Пусть данные середины - точки К,Р и М соответственно.
Построим сечение куба. Для этого достаточно найти точку пересечения
прямой РК с плоскостью основания. Опустим перпендикуляр РН на сторону ВС и проведем прямую НА до пересечения с прямой РК в точке Т.  ТН - проекция прямой РТ на плоскость АВСD. Соединив точки Т и М получим точку Q на ребре AD куба. КQ и QM - линии пересечения граней АА1D1D и АВСD плоскостью сечения. Остальные линии пересечения найдем, проведя в гранях куба прямые, параллельно полученным прямым, так как противоположные грани куба параллельны и значит линии пересечения этих граней третьей плоскостью также параллельны. Соединив точки К,О,Р,N,M,Q и К получим искомое сечение.
Сечение - правильный 6-угольник со стороной, равной
√(2(а²/4)) =а√2/2 (по Пифагору).
По формуле площадь этого сечения равна
S=t²*3√3/2, где t - сторона шестиугольника.Тогда
S=(а√2/2)²*3√3/2 = a²*3√3/4.
2). Площадь полной поверхности пирамиды равна сумме площадей основания и четырех равных по площади боковых граней. Стороны ромба равны, диагонали взаимно перпендикулярны, точкой пересечения делятся пополам  и являются биссектрисами углов ромба.
Тогда меньшая диагональ ромба равна d=D*tg(α/2).
Сторона ромба равна a=d/(2Sin(α/2)) =D*tg(α/2)/(2Sin(α/2)).
So=a²*Sinα =D²*tg²(α/2)*Sinα/(4Sin²(α/2)).
Высота ромба равна h=So/a = a*Sinα.
h= D*tg(α/2)*Sinα/(2Sin(α/2)).
Апофема боковой грани равна
А=h/(2Cosβ), а ее площадь равна Sг=(1/2)*а*А или
Sг=(1/2)*D*tg(α/2)/(2Sin(α/2))*D*tg(α/2)*Sinα/(2Sin(α/2))/(2Cosβ).
Sг=D²*tg²(α/2)*Sinα/(16Sin²(α/2)*Cosβ).
Площадь полной поверхности равна
S=D²*tg²(α/2)*Sinα/(4Sin²(α/2)) + D²*tg²(α/2)*Sinα/(4Sin²(α/2)*Cosβ).
S=D²*tg²(α/2)*Sinα/(4Sin²(α/2))*(1+1/Cosβ).