4. З точки А до площини а опущено перпендикуляр АВ і похилі AC i AK, довжина
AC дорівнює 6. Кут між похилою і перпендикуляром дорівнює 30°. Пряма CK
перпендикулярна до проекції ВС похилої АС на площину а. СK = 4.
Установіть відповідність між відрізками (1-4) і іх довжинами
(А-Д)​

[1]Диагонали прямоугольника ABCD пересекаются в точке О, ∠АВО = 36°. Найдите ∠ АОD.

По свойству прямоугольника его диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам, при этом образуя две пары равных и равнобедренных треугольников ⇒ АО = СО = ВО = ОD ⇒ ΔAOB - равнобедренный, так как АО = ВО. Углы при основании равнобедренного треугольника равны: ∠АВО = ∠ВАО = 36°

∠АОD = ∠ABO + ∠BAO = 2•∠ABO = 2•36° = 72°  - по свойству внешнего угла ∠АОD

ответ: 72°

[2]Найдите углы прямоугольной трапеции, если один из углов равен 20°.

В прямоугольной трапеции присутствуют два прямых угла при одной боковой стороне, при другой - острый и тупой угол ⇒ ∠ADC = 20°, ∠ABC = 90° , ∠BAD = 90°. Сумма углов в четырёхугольнике составляет 360° ⇒ ∠BCD = 360° - 90° - 90° - 20° = 180° - 20° = 160°

ответ: 20° , 90° , 90° , 160°

[3]Стороны параллелограмма относятся как 1:2, а его периметр равен 30 см. Найдите стороны параллелограмма.

По свойству параллелограмма его противолежащие стороны попарно параллельны и равны ⇒ AB = CD , BC = AD

Пусть AB = x, тогда BC = 2x, составим уравнение:

P (abcd) = 2•(AB + BC)

30 = 2•(x + 2x)  ⇒  6x = 30  ⇒  x = 5 см

Значит, AB = CD = 5 см, BC = AD = 2•5 = 10 см

ответ: 5 см, 10 см, 5 см, 10 см

[4]В равнобедренной трапеции сумма углов при большем основании равна 96°. Найдите углы трапеции.

По свойству равнобедренной трапеции углы при его основаниях равны ⇒ ∠АВС = ∠BCD , ∠BAD = ∠CDA

По условию ∠BAD + ∠CDA = 96°  ⇒  2•∠BAD = 96°  ⇒  ∠BAD = ∠CDA = 48°

Сумма углов в четырёхугольнике составляет 360° ⇒ ∠ABC + ∠BCD = 360° - 48° - 48°  ⇒  ∠ABC + ∠BCD = 264°  ⇒ 2•∠ABC = 264°  ⇒  ∠ABC = ∠BCD = 132°

ответ: 48° , 48° , 132° , 132°

[5]Высота ВМ, проведенная из вершины угла ромба АВСD образует со стороной АВ угол в 30°, АМ = 4 см. Найдите длину диагонали ВD ромба, если точка М лежит на стороне АD.

В прямоугольном ΔАВМ: катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы ⇒ АВ = 2•АМ = 2•4 = 8 см

Сумма углов в треугольнике составляет 180°:  ∠ВАМ = 180° - 90° - 30° = 60°

В ромбе все стороны равны: АВ = ВС = CD = AD = 8 см

ΔBAD - равнобедренный, так как AB = AD = 8 см. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны: ∠ABD = ∠ADB = (180° - ∠BAD)/2 = (180° - 60°)/2 = 60° ⇒ ∠BAD = ∠ABD = ∠ADB = 60°

Значит, ΔABD - равносторонний,  AB = AD = BD = 8 см

ответ: 8 см

1. По первому признаку подобия треугольников будут подобны любые два .(?) треугольника.

I. Признак подобия треугольников по двум углам.
 Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
Так как острые углы равнобедренных прямоугольныхтреугольников равны 45º, то по этому признаку подобны: 
5. любые два равнобедренных прямоугольных треугольника
.----------------
2.Треугольники АВС и AMN - равнобедренные. Периметр треугольника AMN равен 320 см, АВ=16 см, АМ=80 см. Найдите площадь треугольника АВС.
Задача не совсем корректна. Приходится по теме вопроса догадываться, что данные треугольники подобны.
 В треугольнике АМN сторона АМ=80. Из неравенства треугольников следует, что только  АМ  может быть основанием этого треугольника, и АN=МN=(320-80):2=120 
Тогда 
Вариант 1)
 АВ=16- основание меньшего треугольника 
k=АМ:АВ=80:16=5 
ВС=АС=120:5=24 
Высоту СН ∆ АВС найдем по т.Пифагора: 
СН=√(ВС²-ВН²)=√512=16√2 
Ѕ∆ АВС=ВН*СН=8*16√2=128√2 см² или  ≈181,02 см²  
Вариант 2) 
АВ=16 -  боковая сторона меньшего треугольника. 
Тогда k=AM:BC=120:16=7,5 
АС=80:7,5=32/3 
Тогда СН=АС:2=16/3 
Высота ВН=√(BC² -CH²)=√(9*256-256):9)=√(8*256:9)=√(2*4*256:3)=(32√2)/3
S ∆АВС=ВН*СН=(32√2)/3)*16/3
S ∆АВС=(32*16√2)/9 см²  или ≈ 80,453 см²