Теорема 1. В треугольнике против большей стороны лежит больший угол.
Доказательство. Пусть в треугольнике ABC сторона АВ больше стороны АС (рис.1, а).
Рис.1
Докажем, что ∠ С > ∠ В. Отложим на стороне АВ отрезок AD, равный стороне АС (рис.1, б). Так как AD < АВ, то точка D лежит между точками А и В. Следовательно, угол 1 является частью угла С и, значит, ∠ C > ∠ 1. Угол 2 — внешний угол треугольника BDC, поэтому Z 2 > Z В. Углы 1 и 2 равны как углы при основании равнобедренного треугольника ADC. Таким образом, ∠ С > ∠ 1, ∠ 1 = ∠ 2, ∠ 2 > ∠ B. Отсюда следует, что ∠ С > ∠ В.
Справедлива и обратная теорема (ее доказательство проводится методом от противного).
Теорема 2. В треугольнике против большего угла лежит большая сторона.
Из теоремы 1 вытекает
Следствие 1. Если два угла треугольника равны, то треугольник равнобедренный (признак равнобедренного треугольника).
Доказательство следствия проводится методом от противного.
Из следствия 1 следует, что если три угла треугольника равны, то треугольник равносторонний.
Из теоремы 2 получаем
Следствие 3. В прямоугольном треугольнике гипотенуза больше катета.
С использованием теоремы 2 устанавливается следующая теорема.
Теорема 3. Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон.
Следствие 4. Для любых трех точек А, В и С, не лежащих на одной прямой, справедливы неравенства:
АВ < АС + СВ, АС < АВ + ВС, ВС < ВА + АС.
№1 первый рисунок, на нем изображено то что дано.
Так как АВСD – параллелограмм, то АВ||CD, тогда угол DCN = угол
BNC как накрест-лежащие при паралельных прямых AB u CD и секущей CN.
CN – биссектриса по условию, значит угол DCN= угол BCN.
Исходя из равенств: угол BNC= угол DCN= угол BCN. Получим что ∆BNC – равнобедренный с основанием CN, так как углы при его основании равны.
У равнобедренного треугольника боковые стороны равны, следовательно BC=BN=4 см
Периметр параллелограмма это сумма двух его смежных сторон, умноженная на два. Тоесть:
P=(ВС+АВ)*2= (ВС+AN+BN)*2= (4+3+4)*2=22 см.
ответ: 22 см
№2 второй рисунок, на нем изображено то что дано
Та что е ABCD – параллелограмм, то АD||BC, тогда угол DAM= угол BMA как накрест-лежащие при паралельных прямых AD и BC и секущей АМ.
АМ – по условию биссектриса, значит угол DAM= угол BAM.
Исходя из ранее найденного: угол DAM= угол АМВ= угол ВАМ.
Тогда получим что, ∆ВАМ – равнобедренный с основанием АМ, так как углы при основании равны.
АВ=ВМ как боковые стороны равнобедренного треугольника, тогда АВ=5 см.
Периметр параллелограмма это сумма двух его смежных сторон, умноженная на два. Тоесть:
Р=(АВ+ВС)*2=(АВ+ВМ+СМ)*2= (5+5+6)*2= 32 см.
ответ: 32 см
