Сторони паралеллограма 85 см і 68 см.
Від вершини тупого кута до більшої сторони проведений перпендикуляр, який ділить сторону на дві частини, одна з яких дорівнює 34 см.
Визнач відстань між вершинами тупих кутів.

Площадь правильного шестиугольника, вписанного в окружность, равна сумме площадей шести правильных треугольников со сторонами, равными радиусу этой окружности. Тогда площадь одного треугольника равна D/6. По формуле эта площадь равна (√3/4)*a², где а=R.
Следовательно, √3*R²/4=D/6  => R²=2D√3/9.
R=√(2D√3)/3
По Пифагору квадрат диагонали вписанного квадрата равен
(2R)²=2а², где а - сторона квадрата.
а=2R/√2 = R√2,  а площадь - S= а² =2R² .
Подставим найденное значение R, тогда
сторона вписанного квадрата:
а=√(2D√3/9)*√2=√(4D√3)/3.
площадь вписанного квадрата:
S=a²= 4D√3/9.

Сделаем и рассмотрим рисунок. 
Медианы треугольника точкой пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины.⇒
 АА₁ =3√ 3
АО=2√ 3
ОА₁ =√ 3
Треугольник СОВ по условию прямоугольный, 
АА₁ - медиана ΔАВС,  
СА₁ =ВА₁  ⇒
ОА₁ - медиана прямоугольного треугольника СОВ
Медиана прямоугольного треугольника, проведенная из прямого угла к гипотенузе,  равна ее половине
Следовательно, СА₁ =ВА₁ =ОА₁ =√ 3
и
СВ=2√ 3
В₁ - середина АС
С₁ - середина АВ
В₁ С₁ - средняя линия треугольника АВС
Отсюда  его медиана АА₁  делится этой средней линией пополам. 
АМ=АА₁ :2=1,5√ 3
В треугольнике АСА₁  отрезок В₁М является средней линией и равен половине СА₁
 В₁М=0,5√ 3
Из прямоугольного  ⊿ АМВ₁  найдем АВ₁  по т. Пифагора:
АВ₁²=АМ² -В₁М²АВ₁ =√(6,75- 0,75)=√6Точка В₁  - середина АС.СВ1=АВ1=√6
Из прямоугольного треугольника ВСВ₁  по т. Пифагора найдем ВВ₁ 
ВВ₁ =√(СВ²+СВ₁²)=√(12+6)=√18=3√2
Найдем гипотенузу АВ по т. Пифагора
АС=2 АВ₁ =2√6
АВ=√(АС²+ ВС²)=√{ (2√ 6)² +(2√3 )²}=√36=6
вторая медиана СС1  равна половине гипотенузы Δ АВС
СС₁ =3, и это меньше, чем  3√2
Следовательно, ВВ₁  - большая из данных медиан  и равна 3√2 
---
[email protected]