1. Из точки A проведен к плоскости α перпендикуляр
AO = 3 см и две наклонные AB=AC,
∠ BAO =∠CAO=60°,∠ CAB=90º. Найдите расстояние между основаниями наклонных.
​
2. Сторона равностороннего треугольника равна 6 см. Данная точка находится на расстоянии 2 см от плоскости треугольника и на равном расстоянии от его вершин. Найдите это расстояние и расстояние от этой точки до сторон треугольника.
​
3.Гипотенуза равнобедренного прямоугольного треугольника лежит в плоскости, а вершина прямого угла отстоит от плоскости на 3 см. Найти угол между плоскостью треугольника и данной плоскостью, если катеты треугольника по 8корень2 см
​
4. В треугольнике ABC на стороне AB выбрана точка D такая, что BD : BA = 1:3. Плоскость, параллельная прямой AC, и проходящая через точку D, пересекает отрезок BC в точке D1. Найдите AC, если DD1 = 4 см.
​
5. Через вершину А квадрата ABCD проведена прямая КА, не лежащая в плоскости квадрата. Докажите, что КА и CD скрещивающиеся прямые и найдите угол между ними, если ∠АКВ = 85°, ∠АВК Рисунки, дано,решения, ответ)

Доказательство в объяснении.

Объяснение:

Так как отрезки АС и BD пересекаются в точке D, точка D принадлежит обоим отрезкам.

Опустим перпендикуляр из вершины В на прямую АС.

Так как треугольник АВС равносторонний, высота из точки В на сторону АС разделит эту сторону пополам (в равностороннем треугольнике высота = медиана).

Опустим перпендикуляр из вершины D на прямую АС.

Так как треугольник АDС равнобедренный, высота из точки D на сторону АС разделит эту сторону пополам (в равнобедренном треугольнике высота = медиана).

Итак, основания обеих высот разделили сторону АС пополам, следовательно, они являются одной и той же точкой и принадлежит эта точка прямой BD. А так как эта точка принадлежит и прямой АС, следовательно, прямые АС и BD взаимно перпендикулярны. Что и требовалось доказать.

Объяснение: Чертеж2

1)Рассмотрим ΔАДО и ΔСВО В этих треугольниках ДО=ОВ по условию, ∠АДО=∠СВО по условию,∠ДОА=∠ВОС как вертикальные ,значитΔАДО=ΔСВО по стороне и двум прилежащим углам.

В равных треугольниках соответственные элементы равны , поэтому АО=СО.

2)Рассмотрим ΔДВО, ДО=ВО , значит ΔДВО-равнобедренный, поэтому углы при основании равны ∠ОДВ=∠ОВД.

3) Рассмотрим ΔАДВ и ΔСВД . В этих треугольниках  

ДВ-общая,

АВ=СД (АВ=АО+ОВ  ДС=СО+ОД, но ДО=ОВ и АО=ОС)  

∠АДВ=∠СВД(  ∠АДВ=∠АДО+∠ОДВ  и ∠СВД=∠СВО+∠ОВД и ∠ОДВ=∠ОВД.),

значит ΔАДВ=ΔСВД  по двум сторонам и углу между ними.