Через вершину A трикутника ABC проведено пряму AK (K ∈ BC), яка перетинає медіану BM у точці P. Доведіть, що: а) BK:KC = 1: 2, якщо BP = PM; б) BK = KC, якщо BP: PM = 2: 1.

Через вершину A треугольника ABC проведена прямая AK (K ∈ BC), которая пересекает медиану BM в точке P. Докажите, что: а) BK: KC = 1: 2, если BP = PM; б) BK = KC, если BP: PM = 2: 1.

Я решу задачу,переделав её условие: Высота правильной четырёхугольной пирамиды=4.Боковое ребро образует с плоскостью основания угол 45 градусов.Найти объём пирамиды.

Пусть SABCD -правильная пирамида.Квадрат-основание правильной пирамиды.
 SO⊥(ABCD)  , SO=4. Cоединим точки А и С. ∠SAO=45°. Найдём из Δ ASO катет АО :tg∠ASO=SO/AO ⇒
AO=SO·tg45°=4·1=4/   AO=4
AO=1/2 АС ⇒    АС=2·АО = 2·4=8   Диагональ квадрата АВСD =8.
Из  Δ АСD   по т. Пифагора  АС²=AD²+DC². ПУСТь  AD=DC=x
Тогда  8²=2х²    ⇒ х√2=8  ⇒х=8/√2 =4·√2
S(осн)=х²=(4·√2)²=16·2=32
V=1/3·S(осн)·H =1 /3· 32 ·4=128/3

Высота делит прямой угол на 2+1=3 части. каждая по 90°:3=30°.

Меньшая часть= 30°, большая =60°

Высота прямоугольного треугольника к гипотенузе делит его на треугольники, подобные друг другу и исходному.

⇒ в ∆ АВС угол А=30° (см.рисунок).

Примем меньший катет равным а, он противолежит углу 30°, поэтому гипотенуза равна 2а ( свойство).

Второй катет АС=2а•cos30°=a√3

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов.

S=a•b:2

2S=a•а√3

4√3=a²√3⇒

a²=4,⇒ a=2

S (АВС)=AB•h:2

h=2S:2a=4√3:4=√3