1. АВ и АС — отрезки касательных, проведенные к окружности с центром в т. О. Расстояние АО=23 см., АВ = 17 см. Найдите длину отрезка АС и радиус окружности.

2. Треугольник АВС вписан в окружность так, что дуга АВ относится к дуге ВС так же как 11 к 12. Центральный угол АОС равен 130 градусов. Найти: ∠BCA, ∠BAC.

3. Хорды MN и РК пересекаются в точке Е так, что ME = 16 см, NE = 4 см, РЕ = КЕ. Найдите РК.

если можно с рисунками

Сформулировать и доказать признак равенства прямоугольного треугольника по гипотенузе и острому углу

Пусть А и А1 - острые углы которые равны
В и В1 - вторая пара острых углов
угол В = 180-90-угол А = 90- угол А
угол В1= 180-90-угол А1 = 90-угол А1 Мы знаем что углы А и А1 равны по условию задачи, Значит углы В и В1 тоже равны
К гипотенузе прилегают два острых угла. Угол А1=углу А угол В равен углу В1 гипотенузы у треугольников тоже равные
Получаем что треугольники равны по стороне (гипотенузе) и двум прилегающим к ней углам. Что и требовалось доказать

Отрезки касательных из одной точки до точки касания с окружностью равны. По свойству радиуса, проведенного в точку касания, ОВ⊥ВА;  ОС⊥СА

∆ АВО=∆ АСО  по 3-м сторонам ( по каким - укажите) 

∆ ВАС - равнобедренный, ∠ ВАМ=∠САМ, 

АМ биссектриса, высота, медиана ∆ ВАС  и перпендикулярна ВС. 

АМ=МО по условию, следовательно, ВМ - медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, и 

ВМ=АМ=ОМ (свойство), ⇒ ВС=АО

Четырехугольник, диагонали которого равны, взаимно перпендикулярны и при пересечении делятся пополам - квадрат. 

⇒ 

∠ВАС=90°