Дано АВСD – паралелограм. А ( -4;1;5 ) , В ( -5;4;2 ) , С ( 3;-2;-1 ) . Знайти координати вершини D.

Как известно, диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам. 
Нарисуем прямоугольник АВСД, проведем в нем диагонали.
Точку пересечения диагоналей обозначим О.
Проведем ОЕ перпендикулярно ВД.
Соединим В и Е.
В треугольнике ВЕД ВО=ОД по построению.
ОЕ  в нем медиана и высота. 
Треугольник ВЕД - равнобедренный.
Рассмотрим прямоугольный треугольник АВЕ
ВЕ=2АЕ ( из равенства ВЕ=ЕД)
Синус угла АВЕ=а:2а=0,5, и это синус угла с градусной мерой 30°.
Второй угол, на который диагональ ВД поделила угол АВС, равен
∠СВЕ=90°-30°=60°
Остальные углы прямоугольника делятся диагоналями также на углы30° и 60°.  ВОТ ТАК.

найдём сторону ромба , для этого рассмотрим прямоуг.треугольник , катеты которого-половинки

диагоналей ромба, а гипотенуза-сторона ромба

катеты 15и20(применяя пифагорову тройку ) гипотенуза-25, т.е. сторона основания 25

или примени теорему Пифагора

если все бок.грани равнонаклонены к плоск. основания, то основание высоты пирам.попадает

в центр вписанной в ромб окружности, а значит в точку пересеч.диагоналей

проводим из этой точки перпендикуляр к стороне ромба-это радиус впис. окр.

рассмотримопять тот же треуг. Найдём в нём высоту , проведенную из вершины прямого угла

треуг. имеет катеты15и20 и гипотенузу 25.

применим свойство: катет есть среднее пропорциональное между гипот.и отрезком гипотен.,

прилежащим к этому катету :202=25*Х Х=16

тогда другая часть гипот.=25-16=9

пименяем : высота, проведенная из вершины прямого угла есть среднее пропорциональное

между отрезками гипотенузы : r2=9*16. r=12

теперь рассматрим треуг. прямоуг. состоящий из высоты пирамиды , радиуса впис.окр.(r) и и высоты боковой грани

катеты 16 и12, гипот.20

находим площадь бок.грани

1/2*25*20=250

Sбок.грани=4*250=1000