5 До 5 Докажите, что четырехугольник с вершинами (1-2) (4-1) C(8,3), D(S:6) прямоугольником

Сделаем построение по условиюцентры окружностей O и О1 -симметричны относительно стороны АСзначит (ОО1) перпендикулярна (АС)треугольник АВС - равнобедренный |AB| = |BC| -иначе не будет выполняться условие симметричности ЦЕНТРОВ окружностейобозначим <BAC=<BCA=<a - это вписанные углы По теореме о вписанном угле - ОНИ опирается на дуги, которые в ДВА раза больше их.Дуга ˘ВС=˘AВ=2aпроведем прямые (AO1) и (AO)точки ИХ пересечения с описанной окружностью т.С1 и т.С2треугольник ОАО1 - равнобедренный , прямая (AC) - биссектриса <C1AC2значит  <C1AC=<C2AC=<a/2 - это вписанные углы По теореме о вписанном угле - ОНИ опирается на дуги, которые в ДВА раза больше их.Дуга ˘СС1=˘СС2=aПрямая (АС2)  проходит через центр описанной окружности |AC2| - диаметрУгол <AOC2 - центральный , развернутый (180 град) -опирается на дугу ˘АС2=180 град.Дуга ˘АС2 состоит из частей  ˘АС2=˘AВ+˘ВС+˘СС2=2a+2a+a=5a=180 , тогда а=180/5=36 град.<A=<C=<a=36 град<B=180-<A-<C=180-2*36=108 градОТВЕТ углы треугольника 36; 36; 108

Рисунок во вложении.

Назовем хорду АВ. Через точку В проведем касательную, из точки А проведем перепндикуляр АС к касательной-это и будет расстоянием от А до касательной. Получили прямоугольный треугольник АВС.

Теперь проведем диаметр окружности перпедикулярно хорде АВ. Он будет делить эту хорду пополам. Диаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею дуги пополам.  Точку пересечения хорды и диаметра назовем К .

Проведем радиус ОВ. Так как ОВ перпендикулярен касательной и АС перпендикулярен касательной, то ОВ//АС. Углы 1 и 2 накрест лежащие, значит они равны.

Рассмотрим треугольники АВС и ВОК: они прямоугольные и имеют по равному острому углу, значит они подобны. Из подобия следует, что ОВ:АВ=АС:ВК  => ОВ:12=6:8 => ОВ=9

ответ: 9см.