Объяснение:
Дано: ABCD.
BE=DF; AE║CF;
∠BAD+∠ADC=180°.
Доказать: ABCD – параллелограмм.
Доказательство:
1) Если при пересечении двух прямых третьей, сумма односторонних углов равна 180°, прямые параллельны.
∠BAD+∠ADC=180° (условие) - односторонние при АВ и СD и секущей АD.
⇒ АВ ║ СD
2) ∠1=∠2 - накрест лежащие при АЕ║СF и секущей ВD.
∠1=∠3; ∠2=∠4 - вертикальные.
⇒ ∠3=∠4.
3) Рассмотрим ΔАВЕ и ΔFCD.
BE=DF (условие)
∠3=∠4 (п.2)
∠АВЕ=∠FDC - накрест лежащие при АВ║СD и секущей BD.
⇒ ΔАВЕ = ΔFCD (по стороне и прилежащим к ней углам, 2 признак)
⇒АВ = CD (соответственные элементы)
Признак параллелограмма: если в четырехугольнике две противоположные стороны равны и параллельны - это параллелограмм.
АВ ║ СD ; АВ = CD
⇒ ABCD – параллелограмм.
Параллельные прямые a и b лежат в плоскости гамма. Через прямую a проведена плоскость альфа, а через прямую b - плоскость бета так, что плоскости альфа и бета пересекаются по прямой c. Докажите, что c параллельна гамма.
-------------
1) Если через каждую из двух параллельных прямых проведена плоскость, причем эти плоскости пересекаются, то линия их пересечения параллельна каждой из данных прямых.
⇒ с || а и с || b
2) Если прямая, не лежащая в плоскости, параллельна некоторой прямой, лежащей в этой плоскости, то данная прямая параллельна самой плоскости
Прямая с, по которой пересекаются плоскости α и β, не лежит в плоскости гамма и параллельна а, лежащей в этой плоскости (см.п1). Требуется доказать п.2, т.е. что прямая с параллельна плоскости гамма.
Плоскость α содержит прямые с и а (с || а- см п.1).
Предположим, что прямая с пересекает плоскость гамма в точке М.
Тогда точка М принадлежит и плоскости гамма, и плоскости α, т.е. точка М принадлежит прямой а, содержащей линию, по которой плоскости α и гамма пересекаются. Получается, что прямые с и а пересекаются, что противоречит п.1.
(аналогично требуемое доказывается через прямую b).
Следовательно, с || гамма, ч.т.д.
