С ПОДГОТОВИТЕЛЬНЫМИ К СОЧ ПО ГЕОМЕТРИИ

1. Пусть a, b - катеты, с - гипотенуза.
a:b = 12:5
a² + b² = 39² = 1521 - по теореме Пифагора
a = 12/5·b 
b² + 144/25·b² = 1521
169/25·b² = 1521
1/25·b² = 9
b² = 9·25 ⇒ b = √9·25 = 3·5 = 15 см.
a = 12/5·15 = 36 см. 
ответ: 15 см; 36 см.

2. a + b = 17
a² + b² = 13² = 169 - опять же теорема Пифагора

a + b = 17
a² + 2ab + b² - 2ab = 169

a + b = 17
(a + b)² - 2ab = 169

a + b = 17
17² - 2ab = 169

a + b = 17
289 - 2ab = 169

a + b = 17
2ab = 120

a + b = 17
ab = 60

По обратной теореме Виета находим, что 
a = 12 см; b = 5 см или же a = 5см; b = 12 см (разницы нет).
ответ: 5 см; 12 см. 

3. Если в трапецию можно вписать окружность, то суммы противоположных сторон равны. 

Значит, сумма боковых сторон равна сумме оснований 
P = 6 см + 12 см + 6 см + 12 см = 36 см.
ответ: 34 см. 

Сначала найдем проекцию апофемы на основание пирамиды = sqrt (17^2 - 15^2) = sqrt (289 - 225) = sqrt(64) = 8  .
 Как известно, величина проекции равна половине стороны основания . Сторона основания равна = 8*2 = 16 .
Площадь полной поверхности пирамиды равна  S =1/2 * A* a * 4 + Sосн = 2 *A* a + a^2, где A - апофема ,  a - сторона основания призмы .
Объем пирамиды найдем по формуле V = 1/3 * Sосн * h = 1/3 * a^2 * h , где   a - сторона основания ,    h  - высота пирамиды . S = 2 * 17 * 16 + 16^2 = 544 + 256 = 800  
V = 1/3 * 16^2 * 15 = 1/3 * 256 *15 = 1280