ответ: 262.44π.
Объяснение:
Площадь поверхности шара равна
V=4πR². (1)
Высота и радиус конуса и радиус вписанного шара связаны соотношением:
R/(H-R)=r/(√(H²-r²)), (2)
где Н=15,2 см - высота конуса.
r²=19²-15.2²= 361-231,04=129.96;
r=√129.96=11.4 см - радиус конуса.
Подставляем значения к и H в (2), получим:
R/(15.2-R)=11.4/(√(15.2²-11.4²));
R/(15.2-R)=11.4/10;
10R=11.4(15.2-R);
10R+11.4R=173.28;
21.4R=173.28;
R≈8.1 см - радиус шара.
Подставляем в (1), получим
S шара=4π8.1^2=262.44π.
Пусть A' – середина дуги BC. Так как OA' || IA2, прямые OI и A'A2 пересекаются в точке K – центре гомотетии описанной и вписанной окружностей (см. рис.). Докажем, что K – искомый радикальный центр.
Первый Так как инверсия с центром A' и радиусом A'B меняет местами прямую BC и описанную окружность Ω треугольника ABC, точка A1 переходит в A, а A2 – в точку A'' пересечения прямой A'A2 с описанной окружностью. Следовательно, точки A, A1, A2 и A'' лежат на одной окружности.
Степень точки K относительно описанной окружности треугольника AA1A2 равна – KA2·KA'' = – r/R AA'·KA'' = r/R s(K), где s(K) – степень точки K относительно Ω.
Очевидно, степени точки K относительно описанных окружностей треугольников BB1B2 и CC1C2 будут такими же, то есть K – радикальный центр трёх окружностей.
Второй Пусть A', B', C' – середины дуг BC, CA, AB. Тогда треугольник A'B'C' переводится в A2B2C2 гомотетией с коэффициентом r/R и центром K, то есть KA2 : A'A2 = KB2 : B'B2 = KC2 : C'C2 = k : 1. Для точек прямой A'A2 разность степеней относительно описанной окружности треугольника AA1A2 и вписанной окружности треугольника ABC является линейной функцией. В точке A2 эта функция равна нулю,
а в точке A' – r², поскольку A'A1·A'A = A'B² = A'I² (первое равенсто следует из подобия треугольников A'A1B и A'BA, а второе – из леммы о трезубце – см. задачу 53119). Значит, в точке K эта разность равна – kr². Другие аналогичные разности в точке K также равны – kr², откуда и следует требуемое
