Окружности с центром в точке О к хорде SF, равной радиусу окружности, перпендикулярно проведен диаметр HL. Диаметр HL и хорда SF пересекаются в точке M.

Длина отрезка SM равна 8,2 см.

​

При вращении треугольника первый катет (не знаю какой поэтому так назовём) образует плоскость, которая будет основанием, а её радиусом будет тот же катет.

Гипотенуза будет заметать коническую поверхность конуса, то есть гипотенуза будет образующей.

Вершиной конуса будет вершина треугольника, которая образуется при пересечении второго катета и гипотенузы. Т.к. катеты перпендикулярны, то второй катет будет перпендикулярен плоскости, которую образовал первый катет, то есть основанию, значит второй катет это высота.

Вот мы разобрались, что есть что. Для наибольшего объёма требуется, чтобы первый катет был больше второго, т.к. при вычислении объёма, радиус основания возводиться в квадрат.

Пусть a - первый катет. b - второй. c - гипотенуза.

Наибольшее значение функции при b=3 т.к. b может быть от нуля до 9, а на этом промежутке максимальное значение функции при b=3. Значит a=6.

Осталось найти площадь боковой поверхности.

ответ: 18√5*π см².

Для краткости и ясности записи пусть OA = a; OB = b; OC = c; OD = d;
Площадь AOB Saob = a*b*sin(Ф)/2; где Ф = ∠AOB; 
аналогично Sboc = b*c*sin(Ф)/2; Scod = c*d*sin(Ф)/2; Saod = a*d*sin(Ф)/2;
Отсюда легко видеть, что
если c*d = x; то a*b = 2*x; и
если a*d = y; то c*b = 18*y; где x и y - неизвестные пока величины.
Отсюда 9*y/x = c/a; и x/y = c/a; то есть (x/y)^2 = 9; x = 3*y;
(или можно перемножить :) abcd = 2x^2 = 18y^2; x = 3y;)
Получилось, что Scod = 3*Saod; 
28 = Saod + 3*Saod + 18*Saod + 6*Saod = 28*Saod;
Saod = 1; Saob = 6; Sboc = 18; Scod = 3;