Вариант 2
1.В треугольнике ABC угол А равен 65°. Внутри треугольника отмечена точка О так, что AOB = COB и АО = ОС.
а) Найдите угол АСВ.
б) Докажите, что прямая ВО является серединным перпендикуляром к стороне АС.
2.На прямой последовательно отложены отрезки АВ, ВС, CD. Точки Е и F расположены по разные стороны от этой прямой, причем. ABE = 140°,. ACF = 40°,. FBD = 49°, . ACE = 48°.
Докажите, что:
а) прямые BE и CF параллельны;
б) прямые BF и СЕ пересекаются.
3. В треугольнике ABC .  B = 90°, . C = 60°, ВС = 2 см. На стороне АC отмечена точка D так, что ABD = 30°.
а) Найдите длину отрезка AD.
б) Докажите, что периметр треугольника ABC меньше 10 см.
У
Как решить

∠DAB = 30°

Объяснение:

Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается, значит

∠BCD = 1/2 ∪DB = 1/2 · 100° = 50°

∠BDC = 1/2 ∪CB = 1/2 · 40° = 20°

Угол между касательной и хордой равен половине дуги, заключенной внутри этого угла, значит

∠АВС = 1/2 ∪СВ = 1/2 · 40° = 20°

∠BCD - внешний для треугольника АВС. По свойству внешнего угла

∠BCD = ∠ABC + ∠BAC

∠BAC = ∠BCD - ∠ABC = 50° - 20° = 30°

∠DAB = 30°

_________________________________

Стоит запомнить, что угол между секущими, проведенными из одной точки (или между секущей и касательной, как в данном случае), равен полуразности дуг, заключенных между ними.

∠DAB = 1/2 (∪DB - ∪CB) = 1/2 (100° - 40°) = 1/2 · 60° = 30°

Объяснение:

1.

АВD=ВСD, по равенству катетов АВ=СD и общей гипотенузе ВD

2.

КМТ=КТN по равенству катетов МТ=ТN и общему катету КТ

6.

АЕD=DFB по равенству гипотенуз АD=DВ и равенству катетов ЕD=DФ

ЕСD=СFD по равенству катетов ЕD=DF и общей гипотенузе СD

АDС=СDВ по равенству катетов АD=DВ и общей гипотенузе СD

7.

RМS=RNS по равенству углов R=S и общей гипотенузе RS

RМТ=ТNS по равенству катетов RМ=NS (доказано выше) и равенству гипотенуз RТ=ТS (следует из того что треугольник RТS - равнобедренный по углам R=S)