В равнобедренном треугольнике авс ав=вс точки м и н середины боковых сторон. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник мбн, если периметр треугольника авс равен 32, а длина отрезка мн равна

Проведем СЕ параллельно диагонали ВD. Треугольник АСЕ - прямоугольный, так как его стороны связаны соотношением 5:12:13, то есть с²=a²+b².
Высота, опущенная на гипотенузу, связана с катетами прямоугольного
треугольника соотношением:
1/a²+1/b²=1/h² или h²=a²*b²/(a²+b²) или h²=a²*b²/с².
Или h=a*b/c.
В нашем случае h=10*24/26=120/13.
Тогда площадь трапеции равна S=(4+22)*120/2*13=120cм².
ответ:S=120cм².

P.S. Заметим, что площадь трапеции S=(BC+AD)*h/2 равна площади прямоугольного  треугольника АСЕ, так как высота у них одинакова, а основание (гипотенуза) треугольника равна сумме оснований трапеции:
Sace=AE*h/2=(BC+AD)*h/2. Таким образом, можно было не находить высоту трапеции, а площадь ее найти как половину произведения диагоналей трапеции (катетов треугольника), то есть
S=AC*BD/2=10*24/2=120см².
Или найти площадь треугольника АСЕ (равную площади трапеции ABCD)  по формуле Герона (для любителей корней):
S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]=√(30*20*6*4)=120см².

Объяснение:

поскольку диагональ-биссектрисса. Значит углы по 30°. Учитывая,что один из них внутренний накрест лежащий со вторым углом при диагонали в треугольник , образованном диагональю и малым основанием и боковой стороной. Трекугольник равнобеджренный-угля при оснорвании равны по 30° Значит меньшее основание равно боковой стороне и равно 12 см.Второй треугольник,образованный диагональю,боковой стороной и большим основанием является прямоугольным. Угол трапеции равен 60° ,а угол при диагонали равен 30°. Третий угол 90°. Боковая сторона лежит против угла 30° ,значит она равна половине гипотенузы(катет против 30 ° в прямоугольном треугольнике равен половине гипотенузы) Большее основание равно двойной боковой = 24см. Значит ответ: меньшее основание = 12 см,большее равно 24 см.