треугольник ABC равнобедренный (AB=BC)
получившиеся прямоугольные треугольники CMA и AKC равны ---у них гипотенуза общая и углы MAC и KCА равны (как углы равнобедренного треугольника ABC) =>
AM = KC => MB = KB, т.е. треугольник MBK тоже равнобедренный, т.е. углы при его основании равны и равны углам при основании треугольника ABC (т.к. угол В у них общий)
угол BMK = BAC а это соответственные углы при двух прямых MK и AC и секущей AB
если соответственные углы равны, то прямые параллельны...
Векторами можно, например. Вообще с нуля, не привлекая никакие описанные окружности и о то, что гипотенуза лежит на её диаметре.
Вводим ортонормированный базис 
в вершине прямого угла с ортами, направленными по катетам. В этом базисе катеты (AB и AC) будут иметь компоненты 
и 
, а гипотенуза 
— компоненты 
.
Половина вектора 
, конец E которого будет точкой исследуемой медианы, принадлежащей гипотенузе, имеет компоненты 
. Следовательно, медиана 
будет иметь компоненты 
.
Находим длину (норму) вектора 
, которая и будет представлять длину медианы:
.
А длина (норма) вектора гипотенузы 
:
.
Следовательно, длина медианы AE в точности равна половине длины гипотенузы BC.
Утверждение доказано.
